background image

CHAPTER 2

Products in dagger categories with complete

ordered Hom-sets

FiXme

: This is a rough draft. It is not yet checked for errors.

Note

1971

.

What I previously denoted

Q

F

is now denoted

Q

(

L

)

F

(and like-

wise for

`

). The other draft chapters referring to this chapter may be not yet

updated.

Proposition

1972

.

FiXme

: Should we move this to volume 1?

1

. Every entirely defined monovalued morphism is metamonovalued and

metacomplete.

2

. Every

surjective

injective

morphism

is

metainjective

and

co-

metacomplete.

Proof.

Let’s prove the first (the second follows from duality):

Let

f

be an entirely defined monovalued morphism.

(

d

G

)

f

v

d

g

G

(

g

f

) by monotonicity of composition.

Using the fact that

f

is monovalued and entirely defined:

d

g

G

(

g

f

)

f

v

d

g

G

(

g

f

f

)

v

d

G

;

d

g

G

(

g

f

)

v

d

g

G

(

g

f

)

f

f

v

(

d

G

)

f

.

So (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

).

Let

f

be a entirely defined monovalued morphism.

f

(

d

G

)

w

d

g

G

(

f

g

) by monotonicity of composition.

Using the fact that

f

is entirely defined and monovalued:

f

d

g

G

(

f

g

)

w

d

g

G

(

f

f

g

)

w

d

G

;

d

g

G

(

f

g

)

w

f

f

d

g

G

(

f

g

)

w

f

(

d

G

).

So

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

).

1. General product in partially ordered dagger category

To understand the below better, you can restrict your imagination to the case

when

C

is the category

Rel

.

1.1. Infimum product.

Let

C

be a dagger category, each Hom-set of which

is a complete lattice (having order agreed with the dagger).

We will designate some morphisms as

principal

and require that principal mor-

phisms are both metacomplete and co-metacomplete. (For a particular example of
the category

Rel

, all morphisms are considered principal.)

Let

Q

(

Q

)

X

be an object for each indexed family

X

of objects.

Let

π

be a partial function mapping elements

X

dom

π

(which consists of

small indexed families of objects of

C

) to indexed families

Q

(

Q

)

X

X

i

of principal

morphisms (called

projections

) for every

i

dom

X

.

We will denote particular morphisms as

π

X

i

.

8