background image

CHAPTER 1

Introduction

I remind some definitions from volume 1 [

5

].

I denote a set definition like

n

x

A

P

(

x

)

o

instead of customary

{

x

A

|

P

(

x

)

}

(in

order to reduce formulas size).

I denote partial order as

v

. I denote lattice operations as

d

,

d

,

u

,

t

.

The following generalizes monovalued morphisms in category

Rel

.

Let Hom-sets be complete lattices.

Definition

1955

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metamono-

valued

when (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms with a

suitable domain and image.

Definition

1956

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metainjec-

tive

when

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a suitable

domain and image.

Obvious

1957

.

Metamonovaluedness and metainjectivity are dual to each

other.

Definition

1958

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metacom-

plete

when

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a

suitable domain and image.

Definition

1959

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

co-

metacomplete

when (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms

with a suitable domain and image.

Let now Hom-sets be meet-semilattices.

Definition

1960

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly

metamonovalued

when (

g

u

h

)

f

= (

g

f

)

u

(

h

f

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable domain and image.

Definition

1961

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly

metainjective

when

f

(

g

u

h

) = (

f

g

)

u

(

f

h

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable domain and image.

Let now Hom-sets be join-semilattices.

Definition

1962

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly

metacomplete

when

f

(

g

t

h

) = (

f

g

)

t

(

f

h

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable domain and image.

Definition

1963

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly co-

metacomplete

when (

g

t

h

)

f

= (

g

f

)

t

(

h

f

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable domain and image.

Obvious

1964

.

1

. Metamonovalued morphisms are weakly metamonovalued.

2

. Metainjective morphisms are weakly metainjective.

6