background image

1. MORE ON PRODUCT OF RELOIDS

36

X

Y

i

D

up

a

i

, Y

Y

i

D

up

b

i

x

Y

i

D

atoms

X

i

, y

Y

i

D

atoms

Y

i

N

∈ F ∀

j

N

:

x

j

[

f

j

]

y

j

where

D

= dom

f

.

Thus by the lemma

N

∈ F ∀

i

N

:

a

i

[

f

i

]

b

i

, that is

a

h

Q

[

F

]

f

i

b

.

FiXme

: TODO: when Pr

j

Q

[

F

]

i

D

a

i

=

a

j

?

1. More on product of reloids

FiXme

: Move this to a more appropriate place.

Definition

2087

.

Q

(

Y

)

i

dom

f

f

=

Q

(

A

)

i

dom

f

(

FCD

)

f

for an indexed family

f

of

reloids.

Proposition

2088

.

a

(

Y

)

Y

i

dom

f

f

b

⇔ ∀

i

dom

f

:

f

i

6

RLD

Pr

i

a

×

RLD

RLD

Pr

i

b.

Proof.

f

i

6

Pr

RLD

i

a

×

FCD

Pr

RLD

i

b

(

FCD

)

f

i

w

Pr

RLD

i

a

×

FCD

Pr

RLD

i

b

a

[(

FCD

)

f

i

]

b

.

Example

2089

.

The funcoid

p

described by the formula (for atomic reloids

a

and

b

)

a p b

⇔ ∀

i

dom

f

:

f

i

w

RLD

Pr

i

a

×

RLD

RLD

Pr

i

b

does not exist (in general), even if we restrict to 2-indexed families only.

Proof.

For the case if

f

=

J

v, w

K

is a 2-indexed family of reloids, the formula

which we need to disprove takes the form:

a p b

v

w

dom

a

×

RLD

dom

b

w

w

im

a

×

RLD

im

b.

Take

v

=

w

= 1

Rel

on an infinite set. Suppose for the contrary

p

exists and is a

funcoid. Then

X

up

a, Y

up

b

x

atoms

X, y

atoms

Y

:

x p y

a p b.

For a counter-example take

a

=

b

to be a nontrivial ultrafilter. Then for every

X

up

a

,

Y

up

b

take

x

=

y

to be singletons on

X

Y

. We have

x p y

, but not

a p b

.