background image

CHAPTER 8

Funcoids as closed sets

Idea [

6

by

Todd Trimble

.

FiXme

:

https://ncatlab.org/toddtrimble/published/topogeny

and

https://

math.stackexchange.com/q/2681502/4876

FiXme

: What about the infinite products?

Theorem

2061

.

The set of staroids

P

X

1

×· · ·×

P

X

n

2 is order isomorphic

to co-frame of closed subsets of topological product

βX

1

× · · · ×

βX

n

.

Proof.

P

X

1

× · · · ×

P

X

n

2 can be order-embedded to the frame of ideals

J

(

P

X

1

×· · ·×

P

X

n

) what is dual (check!) to the frame of ideals of the distributive

lattice

P

X

1

⊗ · · · ⊗

P

X

n

. This by ?? is the coproduct

P

i

P

X

i

in the category of

boolean algebras. By Stone duality it is isomorphic to the topology of it spectrum

βX

1

× · · · ×

βX

n

.

Elements of

βX

1

× · · · ×

βX

n

are closed subsets. So every

n

-staroid one-to-one

corresponds to a closed set of

βX

1

× · · · ×

βX

n

.

Note that

βX

1

× · · · ×

βX

n

is a compact Hausdorff space (as a product of

compact Hausdorff spaces).

It seems that there is an easy way to describe the above order embedding in

both directions:

f

7→

(

x

1

, . . . , x

n

)

x

1

, . . . , x

n

atoms

F

, x

1

×

FCD

· · · ×

FCD

x

n

v

f

;

X

7→

l

p

1

×

FCD

· · · ×

FCD

p

n

p

X

.

FiXme

: Try to prove that composition of funcoids is isomorphic to composition

of relations

βA

×

βB

.

30