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7. MAPPINGS BETWEEN ENDOFUNCOIDS AND TOPOLOGICAL SPACES

29

Proof.

We will prove only for

F

?

as the other is dual.

We will disprove

f

C(

T µ, s

)

f

C(

µ, F

?

s

) what is equivalent (because

F

?

is full and faithful) to

f

C(

F

?

T µ, F

?

s

)

f

C(

µ, F

?

s

);

F

?

T µ

v

f

1

F

?

s

f

µ

v

f

1

F

?

s

f

.

F

?

T µ

v

f

1

F

?

s

f

µ

v

f

1

F

?

s

f

because

F

?

T µ

w

µ

.

If

µ

v

f

1

F

?

s

f

then

µ

n

v

f

1

(

F

?

s

)

n

f

=

f

1

F

?

s

f

. Also obviously

1

v

f

1

F

?

s

f

. Thus

1

t

µ

t

µ

2

t

. . .

v

f

1

F

?

s

f

and so 1

t

Compl

µ

t

(Compl

µ

)

2

t

. . .

v

f

1

F

?

s

f

. So

F

?

T µ

v

f

1

F

?

s

F

.

FiXme

:

F

and

T

are also a Galois connection, isn’t it?

Example

2060

.

T

is a not left adjoint of both

F

?

and

F

?

, with bijection which

preserves the “function” part of the morphism.

Proof.

We will disprove only from

F

?

as the other is dual.

We will disprove

f

C(

T µ, s

)

f

C(

µ, F

?

s

) what is equivalent (because

F

?

is full and faithful) to

f

C(

F

?

T µ, F

?

s

)

f

C(

µ, F

?

s

);

F

?

T µ

v

f

1

F

?

s

f

µ

v

f

1

F

?

s

f

.

This equivalence does not hold: Take

s

the discrete space on

R

,

f

= id

R

, and

h

µ

i

X

=

X

for finite sets

X

and

h

µ

i

X

=

>

for infinite

X

.