background image

7. MAPPINGS BETWEEN ENDOFUNCOIDS AND TOPOLOGICAL SPACES

28

Proof.

Take

f

= cl

g

where

g

is the principal funcoid which maps every real

number

a

into the closed interval

h

1

−|

a

|

2

;

1+

|

a

|

2

i

.

Take

X

=

1
2

;

1
2

.

h

f

n

i

X

=

1 +

1

2

n

+1

; 1

1

2

n

+1

.

We have

h

1

t

f

t

f

2

t

. . .

i

X

=]

1; 1[;

h

1

t

f

t

f

2

t

. . .

i

h

1

t

f

t

f

2

t

. . .

i

X

= [

1; 1].

Thus follows our inequality.

That

F

?

and

F

?

are functors (if we map morphisms to themselves except of

changing the objects) follows from conjecture 1180.

Theorem

2055

.

T

(if we map morphisms to themselves except of changing the

objects) is a functor.

Proof.

Based on

https://math.stackexchange.com/a/2792239/4876

Let

f

:

µ

ν

that is

f

µ

v

ν

f

. We need to prove

f

:

T µ

T ν

that is

E

T ν

⇒ h

f

1

i

E

T µ

.

Suppose

E

T ν

that is

h

ν

i

E

v

E

. We will prove

h

µ

i

h

f

1

i

E

v h

f

1

i

E

.

FiXme

: Can we use arbitrary filters rather than atoms?

Really, let atom

y

v h

µ

i

h

f

1

i

E

. Then there exists atom

x

v h

f

1

i

E

such

that

x

[

µ

]

y

.

x

[

f

µ

]

h

f

i

y

and thus

x

[

ν

f

]

h

f

i

y

, so

h

f

i

x

[

ν

]

h

f

i

y

. But

h

f

i

x

v

E

, so

h

f

i

y

v h

ν

i

E

v

E

, that is

h

µ

i

h

f

1

i

E

v

E

.

Proposition

2056

.

f

C(

µ, ν

)

f

C(

µ

n

, ν

n

) for every endofuncoids

µ

and

ν

and positive natural number

n

.

FiXme

: Move this proposition to the book.

Proof.

f

µ

v

ν

f

;

f

µ

µ

v

ν

f

µ

;

f

µ

2

v

ν

2

f

;

f

µ

3

v

ν

3

f

...

Proposition

2057

.

For every endofuncoid

µ

:

1

.

F

?

T µ

w

Compl

µ

;

2

.

F

?

T µ

w

Compl

µ

;

3

.

F

?

T µ

w

CoCompl

µ

;

4

.

F

?

T µ

w

CoCompl

µ

;

Proof.

We will prove only the first two as the rest are dual.

h

F

?

T µ

i

E

=

T

n

D

T µ

D

E

o

=

T

n

D

P

Ob

µ

h

Compl

µ

i

D

v

D

D

E

o

w

d

n

h

Compl

µ

i

D

D

P

Ob

µ,

h

Compl

µ

i

D

v

D

D

E

o

w h

Compl

µ

i

E

.

h

F

?

T µ

i

{

x

}

=

d

F

n

E

T µ

x

E

o

=

d

F

n

E

Ob

µ

x

E,

h

Compl

µ

i

E

v

E

o

w

d

F

n

h

Compl

µ

i

E

E

Ob

µ,x

E,

h

Compl

µ

i

E

v

E

o

w h

Compl

µ

i

{

x

}

.

Lemma

2058

.

For every endofuncoid

µ

:

1

.

F

?

T µ

v

1

t

Compl

µ

t

(Compl

µ

)

2

t

. . .

;

2

.

F

?

T µ

v

1

t

CoCompl

µ

t

(CoCompl

µ

)

2

t

. . .

Proof.

We will prove only the first as the second is dual.

h

1

t

Compl

µ

t

(Compl

µ

)

2

t

. . .

i

E

=

E

t h

Compl

µ

i

E

t h

(Compl

µ

)

2

i

E

t

. . .

Take

D

=

E

t h

Compl

µ

i

E

t h

(Compl

µ

)

2

i

E

t

. . .

We have

h

Compl

µ

i

D

v

h

Compl

µ

i

E

t h

(Compl

µ

)

2

i

E

t

. . .

v

D

. So

T

n

D

P

Ob

µ

h

Compl

µ

i

D

v

D

D

E

o

D

v h

1

t

Compl

µ

t

(Compl

µ

)

2

t

. . .

i

E

.

Theorem

2059

.

If we restrict the functor

T

only to complete endofuncoids

(= complete endoreloids), then

T

is a left adjoint of both

F

?

and

F

?

.