background image

CHAPTER 7

Mappings between endofuncoids and topological

spaces

Oreder topologies reversely to set-theoretic inclusion. That is for topologies

t

and

s

we set

t

v

s

t

s

. (Intuitively: The less is the topology, the lesser are its

open sets.)

Let’s study mappings between topological spaces and endofuncoids.

Definition

2049

.

Let

t

be a topology.

1

.

F

?

t

=

d

x

Ob

t

{

x

} ×

d

F

E

t

x

E

 

;

2

. (

F

?

t

)

E

=

T

n

D

t

E

D

o

.

Proposition

2050

.

Let

t

be a topology.

1

.

F

?

t

is complete, reflexive, transitive funcoid.

2

.

F

?

t

is co-complete, reflexive, transitive funcoid.

3

.

F

?

and

F

?

are injections.

4

.

F

?

t

= (

F

?

t

)

1

.

Proof.

By theorem 785.

Definition

2051

.

Let

f

be an endofuncoid.

T f

=

E

P

Ob

f

x

E

:

h

f

i{

x

} v

E

.

Proposition

2052

.

T f

is a topology.

Proof.

Union of open sets is open.

S

T f

⇒ ∀

E

S

x

E

:

h

f

i

x

v

E

x

S

S

:

h

f

i

x

v

S

S

Intersection of two open sets is open. Let

X, Y

T f

. Then

x

X

:

h

f

i

x

v

X

and

x

Y

:

h

f

i

x

v

Y

. So if

x

X

Y

then

h

f

i

x

v

X

and

h

f

i

x

v

Y

,

so

h

f

i

x

v

X

Y

. So

X

Y

T f

.

Ob

f

is an open set. Obvious.

Obvious

2053

.

T f

=

n

E

P

Ob

f

h

Compl

f

i

E

v

E

o

.

In some reason when starting this research I assumed that the following funcoid

(for every endofuncoid

f

) is a Kuratowski closure:

1

t

CoCompl

f

t

(CoCompl

f

)

2

t

. . . .

It is not true:

Example

2054

.

There exists such a co-complete endofuncoid

f

that 1

t

f

t

f

2

t

. . .

is not transitive that is

(1

t

f

t

f

2

t

. . .

)

(1

t

f

t

f

2

t

. . .

)

6

= 1

t

f

t

f

2

t

. . .

27