 2. POWER OF FILTERS

24

We can assume that

B

6

=

because otherwise the theorem is obvious. Thus we

can assume card

B >

1.

If

X

=

X

then obviously

S

has just one element

F

and im

d

RLD

S

= im

F

=

X

=

X

. Otherwise for every

X

up

X

there are elements

F

,

G

of

S

such that

dom(

F

u

G

)

v

X

(using card

B >

1).

By properties of generalized filter bases

X

× > w

d

RLD

S

⇔ ∃

F, G

S

:

X

× > w

F

u

G

X

w X

. Thus im

d

RLD

S

=

X

.

2. Power of filters

Let’s define

Y

X

for filters

X

,

Y

:

First define

Y

X

for a set

Y

:

Y

X

=

f

RLD

(Ob

X

, Y

)

dom

f

=

X ∧

f

is monovalued

.

Now

Y

X

=

d

RLD

Y

up

Y

Y

X

.

[

1

defines an isomorphic to this way to define “exponentiation” of filters.

TODO: Check

Y

1

=

Y

;

Z

X ×

RLD

Y

= (

Z

X

)

Y

;

Z

X qY

=

Z

X

×

RLD

Z

Y

;

Y

2

=

Y ×

RLD

Y

;

Y

0

= 1;

Y

N

=

Q

RLD

n

N

Y

. More formulas at

https://en.wikipedia.org/

wiki/Cartesian_closed_category

.

Andreas Blass says in a private email that it is not cartesian closed: “Unfor-

tunately, the two categories of filters in my paper are not cartesian closed. This is
mentioned in a parenthetical comment near the bottom of page 141. The operation
of cartesian product with the cofinite filter on the natural numbers has no right
adjoint, because it does not preserve infinite coproducts.” about [

1

].

But it is probably a braided closed monoidal category?
See [

1

for more categorical properties of filters.