background image

CHAPTER 4

Categories of filters

In [

1

two categories, whose objects are related with filters on sets, are defined

and researched.

Accordingly [

1

infinite product is defined just in the first (denoted

F

there)

of these two categories. So we will for now consider the first category. (Usefulness
of the second category for our research is questionable.)

Let

f

:

A

B

be a function,

A

be a filter on

A

.

Proposition

2030

.

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

∈A

o

is a filter.

Proof.

That it is an upper set is obvious.

Let

Y

0

, Y

1

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

∈A

o

. Then

f

1

Y

0

∈ A

and

f

1

Y

1

∈ A

. We have

f

1

(

Y

0

Y

1

) =

f

1

Y

0

f

1

Y

1

∈ A

since

f

is monovalued. Thus

Y

0

Y

1

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

∈A

o

.

Theorem

2031

.

FiXme

: Should be moved above in the book.

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

∈A

o

is

equal to the filter generated by the filter base

h

f

i

A

, for every filter

A

.

Proof.

Denote

B

=

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

∈A

o

,

C

=

h

f

i

A

.

Let

Y

∈ C

. Then

Y

=

h

f

i

A

where

A

∈ A

. Then

f

1

h

f

i

A

A

and so

f

1

h

f

i

A

∈ A

. This proves

h

f

i

A

∈ B

, that is

Y

∈ B

.

Let now

Y

∈ B

. Then

h

f

i

f

1

Y

Y

. Since

f

1

Y

∈ A

, we have that

Y

is a supset of some set of the form

h

f

i

A

, so

Y

∈ C

.

Corollary

2032

.

up

h

f

iA

=

n

Y

P

B

h

f

1

i

Y

up

A

o

.

Definition

2033

.

The

category of filtered sets

Filt

is the category defined as

follows:

1

. Objects are pairs (

A,

A

) where

A

is a (small) set and

A

is a filter on

A

.

2

. Morphisms from (

A,

A

) to (

B,

B

) are functions

f

:

A

B

such that

h

f

iA v B

.

3

. Identities are identity functions.

To verify that it is a category is straightforward.
It is the same category as

F

in [

1

], as follows from an above proposition.

We will prove that starred reloidal product is a categorical product in this

category. First we will prove the special case that binary reloidal product is a
categorical product in this category.

Theorem

2034

.

×

RLD

(together with projections Pr

0

and Pr

1

) is a categorical

product in

Filt

.

Proof.

Let our objects be

A

,

B

.

Denote

p

the left projection from Base(

A

)

×

Base(

B

) to Base(

A

).

21