background image

3. REST

20

Definition

2021

.

f /

=

π

f

◦ ↑

π

1

for every morphism

f

.

Obvious

2022

.

Ob(

f /

) = (Ob

f

)

/r

.

Obvious

2023

.

f /

=

h↑

FCD

π

×

(

C

)

FCD

π

i

f

for every morphism

f

.

To define co-equalizers of morphisms

f

and

g

let

be is the smallest equivalence

relation such that

f x

=

gx

.

Lemma

2024

.

Let

f

:

X

Y

be a morphism of the category cont(

C

) where

C

is a concrete category (so

W f

=

ϕ

for a

Rel

-morphism

ϕ

because

f

is principal)

such that

ϕ

respects

. Factor it

ϕ

=

u

π

where

u

: Ob(

X/

)

Ob

Y

using

properties of

Set

. Then

u

is a morphism of cont(

C

) (that is a continuous function

X/

∼→

Y

).

Proof.

f

X

f

1

v

Y

;

u

◦ ↑

π

X

◦ ↑

π

1

◦ ↑

u

1

v

Y

;

u

C(

π

X

◦ ↑

π

1

, Y

) = C(

X/

, Y

).

Theorem

2025

.

The following is a co-equalizer of parallel morphisms

f, g

:

A

B

of category cont(

C

):

the object

Y

=

f /

;

the morphism

π

considered as a morphism

B

Y

.

Proof.

Let

z

f

=

z

g

for some morphism

z

.

Let’s prove

u

π

=

z

for some

u

:

Y

Dst

z

. Really, as a morphism of

Set

it

exists and is unique.

Src

z

Y

. Thus

z

=

u

π

for some

u

(by properties of

Set

). The function

u

is

a cont(

C

)-morphism because of the lemma above. It is unique by properties of

Set

(

π

obviously respects equivalence classes).

3. Rest

Theorem

2026

.

The categories cont(

C

) (for example in

Fcd

and

Rld

) are

complete.

FiXme

: Note that small complete category is a preorder!

Proof.

They have products and equalizers.

Theorem

2027

.

The categories cont(

C

) (for example in

Fcd

and

Rld

) are

co-complete.

Proof.

They have co-products and co-equalizers.

Definition

2028

.

I call morphisms

f

and

g

of a category with embeddings

equivalent

(

f

g

) when there exist a morphism

p

such that Src

p

v

Src

f

, Src

p

v

Src

g

, Dst

p

v

Dst

f

, Dst

p

v

Dst

g

and

ι

Src

f,

Dst

f

p

=

f

and

ι

Src

g,

Dst

g

p

=

g

.

Problem

2029

.

Find under which conditions:

1

. Equivalence of morphisms is an equivalence relation.

2

. Equivalence of morphisms is a congruence for our category.