background image

CHAPTER 3

Equalizers and co-Equalizers in Certain Categories

It is a rough draft. Errors are possible.

FiXme

: Change notation

Q

Q

(

L

)

.

1. Equalizers

Categories cont(

C

) are defined above.

I will denote

W

the forgetful functor from cont(

C

) to

C

.

In the definition of the category cont(

C

) take values of

as principal morphisms.

FiXme

: Wording.

Lemma

2018

.

Let

f

:

X

Y

be a morphism of the category cont(

C

) where

C

is

a concrete category (so

W f

=

ϕ

for a

Rel

-morphism

ϕ

because

f

is principal) and

im

ϕ

=

A

Ob

Y

. Factor it

ϕ

=

E

Ob

Y

u

where

u

: Ob

X

A

using properties of

Set

. Then

u

is a morphism of cont(

C

) (that is a continuous function

X

ι

A

Y

).

Proof.

(

E

Ob

Y

)

1

ϕ

= (

E

Ob

Y

)

1

◦ E

Ob

Y

u

;

(

E

Ob

Y

C

)

1

◦ ↑

ϕ

= (

E

Ob

Y

C

)

1

◦ E

Ob

Y

C

◦ ↑

u

;

(

E

Ob

Y

C

)

1

◦ ↑

ϕ

=

u

;

X

v

(

u

)

1

π

A

Y

◦ ↑

u

X

v

(

ϕ

)

1

◦ E

Ob

Y

C

π

A

Y

(

E

Ob

Y

C

)

1

◦ ↑

ϕ

X

v

(

ϕ

)

1

◦ E

Ob

Y

C

(

E

Ob

Y

C

)

1

Y

◦ E

Ob

Y

C

(

E

Ob

Y

C

)

1

◦ ↑

ϕ

X

v

(

ϕ

)

1

Y

◦ ↑

ϕ

X

v

(

W f

)

1

Y

W f

what is true by definition of continuity.

Equational definition of equalizers:

http://nforum.mathforge.org/comments.php?DiscussionID=5328/

Theorem

2019

.

The following is an equalizer of parallel morphisms

f, g

:

A

B

of category cont(

C

):

the object

X

=

ι

{

x

Ob

A

f x

=

gx

}

A

;

the morphism

E

Ob

X,

Ob

A

considered as a morphism

X

A

.

Proof.

Denote

e

=

E

Ob

X,

Ob

A

.

Let

f

z

=

g

z

for some morphism

z

.

Let’s prove

e

u

=

z

for some

u

: Src

z

X

. Really, as a morphism of

Set

it

exists and is unique.

Consider

z

as as a generalized element.

f

(

z

) =

g

(

z

). So

z

X

(that is Dst

z

X

). Thus

z

=

e

u

for some

u

(by

properties of

Set

). The generalized element

u

is a cont(

C

)-morphism because of

the lemma above. It is unique by properties of

Set

.

We can (over)simplify the above theorem by the obvious below:

Obvious

2020

.

n

x

Ob

A

f x

=

gx

o

= dom(

f

g

).

2. Co-equalizers

http://math.stackexchange.com/questions/539717/

how-to-construct-co-equalizers-in-mathbftop

Let

be an equivalence relation. Let’s denote

π

its canonical projection.

19