background image

9. IS CATEGORY RLD CARTESIAN CLOSED?

18

We will define:

ε

Fcd

A,B

=

T

1

ε

Dig

T A,T B

;

• ∼

Fcd

f

=

T

1

Dig

T f

.

Due to functoriality and injectivity of

T

it is enough to prove that above defined

ε

Fcd

A,B

and

Fcd

f

exist and are morphisms of

Fcd

.

ε

Dig

T A,T B

6

=

T ε

Fcd

A,B

because

ε

Dig

T A,T B

accepts ordered pairs as the argument and

T ε

Fcd

A,B

accepts sets as the argument. So this is a dead end. Can the proof idea be

salvaged?

9. Is category Rld cartesian closed?

We may attempt to prove that

Rld

is cartesian closed by embedding it into

supposedly cartesian closed category

Fcd

by the function

ρ

:

h

ρf

i

x

=

f

x

and

h

ρf

1

i

y

=

f

1

y

.

TODO: More to write on this topic.