 8. CARTESIAN CLOSEDNESS

16

8.2. Conjectures.

Conjecture

2017

.

The categories

Fcd

and

Rld

are cartesian closed (actually

two conjectures).

http://mathoverflow.net/questions/141615/how-to-prove-that-there-are-no-exponential-object-in-a-category

suggests to investigate colimits to prove that there are no exponential object.

Our purpose is to prove (or disprove) that categories

Dig

,

Fcd

, and

Rld

are

cartesian closed. Note that they have finite (and even infinite) products is already
proved.

Alternative way to prove: you can prove that the functor

− ×

B

to the exponentiation

B

where the counit is given by the evaluation map.

See

http://www.springer.com/us/book/9780387977102

for another way to

prove Cartesian closedness.

8.3. Category Dig is cartesian closed.

Category of digraphs is the sim-

plest of our three categories and it is easy to demonstrate that it is cartesian closed.
I demonstrate cartesian closedness of

Dig

mainly with the purpose to show a pat-

tern similarly to which we may probably demonstrate our two other categories are
cartesian closed.

Let

G

and

H

be graphs:

Ob MOR(

G, H

) = (Ob

H

)

Ob

G

;

(

f, g

)

GR MOR(

G, H

)

⇔ ∀

(

v, w

)

GR

G

: (

f

(

v

)

, g

(

w

))

GR

H

for

every

f, g

Ob MOR(

G, H

) = (Ob

H

)

Ob

G

;

GR 1

MOR(

B,C

)

= id

Ob MOR(

B,C

)

= id

(Ob

H

)

Ob

G

Equivalently
(

f, g

)

GR MOR(

G, H

)

⇔ ∀

(

v, w

)

GR

G

:

g

◦ {

(

v, w

)

} ◦

f

1

GR

H

(

f, g

)

GR MOR(

G, H

)

g

(GR

G

)

f

1

GR

H

(

f, g

)

GR MOR(

G, H

)

⇔ h

f

×

(

C

)

g

i

GR

G

GR

H

The transposition (the isomorphism) is uncurrying.

f

=

λa

Zλy

A

:

f

(

a, y

) that is (

f

)(

a

)(

y

) =

f

(

a, y

).

(

f

)(

a, y

) =

f

(

a

)(

y

)

If

f

:

A

×

B

C

then

f

:

A

MOR(

B, C

)

”Proposition” Transposition and its inverse are morphisms of

Dig

.

”Proof” It follows from the equivalence

f

:

A

MOR(

B, C

)

⇔ ∀

x, y

:

(

xAy

(

f

)

x

(MOR(

B, C

))(

f

)

y

)

x, y

: (

xAy

⇒ ∀

(

v, w

)

B

: ((

f

)

xv,

(

f

)

yw

)

C

)

x, y, v, w

: (

xAy

vBw

((

f

)

xv,

(

f

)

yw

)

C

)

x, y, v, w

: ((

x, v

)(

A

×

B

)(

y, w

)

(

f

(

x, v

)

, f

(

y, w

))

C

)

f

:

A

×

B

C

.

Evaluation

ε

: MOR(

G, H

)

×

G

H

is defined by the formula:

Then evaluation is

ε

B,C

=

(1

MOR(

B,C

)

).

So

ε

B,C

(

p, q

) = (

(1

MOR(

B,C

)

))(

p, q

) = (1

MOR(

B,C

)

)(

p

)(

q

) =

p

(

q

).

”Proposition” Evaluation is a morphism of

Dig

.

”Proof” Because

ε

B,C

(

p, q

) =

(1

MOR(

B,C

)

).

It remains to prove: *

ε

B,C

(

f

×

1

A

) =

f

for

f

:

A

B

×

C

; *

(

ε

B,C

(

g

×

1

A

)) =

g

for

g

:

A

MOR(

B, C

).

”Proof”

ε

B,C

(

f

×

1

A

)(

a, p

) =

ε

B,C

((

f

)

a, p

) = (

f

)

ap

=

f

(

a, p

). So

ε

B,C

(

f

×

1

A

) =

f

.

(

ε

B,C

(

g

×

1

A

))(

p

)(

q

) = (

ε

B,C

(

g

×

1

A

))(

p, q

) =

ε

B,C

(

g

×

1

A

)(

p, q

) =

ε

B,C

(

gp, q

) =

g

(

p

)(

q

). So

(

ε

B,C

(

g

×

1

A

)) =

g

.

8.4. By analogy with the proof that Dig is cartesian closed.

The most

obvious way for proof attempt that

Fcd

is cartesian closed is an analogy with the

proof that

Dig

is cartesian closed.