background image

8. CARTESIAN CLOSEDNESS

15

Proof.

a

h

Q

(

A

)

F

i

b

i

dom

F

:

Pr

RLD

i

a

[

F

i

]

Pr

RLD

i

b

i

dom

F

:

*

π

FCD

Q

i

n

Dst

F

i

1

+

[

F

i

]

π

FCD

Q

i

n

Src

F

i

i

dom

F

:

a

"

π

FCD

Q

i

n

Dst

F

i

1

F

i

π

FCD

Q

i

n

Src

F

i

#

b

a

"

d

i

n

 

π

FCD

Q

i

n

Dst

F

i

1

F

i

π

FCD

Q

i

n

Src

F

i

!#

b

for ultrafilters

a

and

b

.

Corollary

2016

.

Q

(

L

)

F

=

Q

(

A

)

F

is

F

is a small indexed family of funcoids.

7. Further plans

Does the formula

Q

(

L

)

i

n

(

g

i

f

i

) =

Q

(

L

)

g

Q

(

L

)

f

hold?

Coordinate-wise continuity.

8. Cartesian closedness

We are not only to prove (or maybe disprove) that our categories are cartesian

closed, but also to find (if any) explicit formulas for exponential transpose and
evaluation.

”Definition” A category is //cartesian closed// iff:

1

. It has finite products.

2

. For each objects

A

,

B

is given an object MOR(

A, B

) (//exponentiation//)

and a morphism

ε

Dig

A,B

: MOR(

A, B

)

×

A

B

.

3

. For each morphism

f

:

Z

×

A

B

there is given a morphism (//expo-

nential transpose//)

f

:

Z

MOR(

A, B

).

4

.

ε

B,C

(

f

×

1

A

) =

f

for

f

:

A

B

×

C

.

5

.

(

ε

B,C

(

g

×

1

A

)) =

g

for

g

:

A

MOR(

B, C

).

We will also denote

f

7→

(

f

) the reverse of the bijection

f

7→

(

f

).

Our purpose is to prove (or disprove) that categories

Dig

,

Fcd

, and

Rld

are

cartesian closed. Note that they have finite (and even infinite) products is already
proved.

Alternative way to prove: you can prove that the functor

− ×

B

is left adjoint

to the exponentiation

B

where the counit is given by the evaluation map.

8.1. Definitions.

Categories

Dig

,

Fcd

, and

Rld

are respectively categories

of:

1

. discretely continuous maps between digraphs;

2

. (proximally) continuous maps between endofuncoids;

3

. (uniformly) continuous maps between endoreloids.

”Definition” //Digraph// is an endomorphism of the category

Rel

.

For a digraph

A

we denote Ob

A

the set of vertexes or

A

and GR

A

the set of

edges or

A

.

”Definition” Category

Dig

of digraphs is the category whose objects are di-

graphs and morphisms are discretely continuous maps between digraphs. That is
morphisms from a digraph

µ

to a digraph

ν

are functions (or more precisely mor-

phisms of

Set

)

f

such that

f

µ

v

ν

f

(or equivalently

µ

v

f

1

ν

f

or

equivalently

f

µ

f

1

v

ν

).

”Remark” Category of digraphs is sometimes defined in an other (non equiva-

lent) way, allowing multiple edges between two given vertices.