background image

6. CANONICAL PRODUCT AND SUBATOMIC PRODUCT

14

4.2. Reloids.

Definition

2010

.

Rld

def

= cont

RLD

.

Let

F

be a family of endoreloids.

The cartesian product

Q

(

Q

)

X

def

=

Q

X

.

I define

π

i

=

π

X

i

RLD

(

Q

X, X

i

) as the principal reloid corresponding to the

i

-th projection. (Here

π

is entirely defined.)

The disjoint union

`

(

Q

)

X

def

=

`

X

.

I define

ι

i

=

ι

X

RLD

(

X

i

,

`

X

) as the principal reloid corresponding to the

i

-th canonical injection. (Here

ι

is entirely defined.)

Let

N

and

L

are defined in the same way as in category

Set

.

Obvious

2011

.

π

i

N

f

=

f

i

;

N

i

n

(

π

i

f

) =

f

.

Obvious

2012

.

(

L

f

)

ι

i

=

f

i

;

L

i

n

(

f

ι

i

) =

f

.

It is easy to show that

π

i

is entirely defined monovalued, and

ι

i

is metacomplete

and co-metacomplete.

Thus we are under conditions for both canonical products and canonical co-

products and thus both

Q

(

L

)

F

and

`

(

L

)

F

are defined.

It is trivial that for uniform spaces infimum product of reloids coincides with

product uniformilty.

5. Initial and terminal objects

Initial object of

Fcd

is the endofuncoid

FCD

(

,

)

. It is initial because it has

precisely one morphism

o

(the empty set considered as a function) to any object

Y

.

o

is a morphism because

o

◦ ↑

FCD

(

,

)

∅ v

Y

o

.

Proposition

2013

.

Terminal objects of

Fcd

are exactly

F

{∗}×

FCD

F

{∗}

=

FCD

{

(

,

)

}

where

is an arbitrary point.

Proof.

In order for a function

f

:

X

→↑

FCD

{

(

,

)

}

be a morphism, it is

required exactly

f

X

v↑

FCD

{

(

,

)

} ◦

f

f

X

v

(

f

1

◦ ↑

FCD

{

(

,

)

}

)

1

;

f

X

v

(

{∗} ×

FCD

h

f

1

i{∗}

)

1

;

f

X

v

h

f

1

i{∗} ×

FCD

{∗}

what true exactly when

f

is a constant function with the value

.

If

n

=

then

Z

=

{∅}

;

Q

(

L

)

= max

FCD

(

Z, Z

) =

F

{∅}×

FCD

F

{∅}

=

FCD

{

(

,

)

}

.

FiXme

: Initial and terminal objects of

Rld

.

6. Canonical product and subatomic product

FiXme

: Confusion between filters on products and multireloids.

Proposition

2014

.

Pr

RLD

i

|

F

(

Z

)

=

h

π

i

i

for every index

i

of a cartesian product

Z

.

Proof.

If

X ∈

F

(

Z

) then (Pr

RLD

i

|

F

(

Z

)

)

X

= Pr

RLD

i

X

=

d

F

h

Pr

i

i

X

=

d

h

π

i

i

up

X

=

h

π

i

iX

.

Proposition

2015

.

Q

(

A

)

F

=

d

i

n

 

π

FCD

Q

i

n

Dst

F

i

1

F

i

π

FCD

Q

i

n

Src

F

i

!

.