background image

1. GENERAL PRODUCT IN PARTIALLY ORDERED DAGGER CATEGORY

10

1.2. Infimum product for endomorphisms.

Let

F

is an indexed family of

endomorphisms of

C

.

I will denote Ob

f

the object (source and destination) of an endomorphism

f

.

Let also

π

X

i

be a monovalued entirely defined morphism (for each

i

dom

F

).

Then

Q

(

L

)

F

=

d

i

dom

F

((

π

λj

n

:Ob

F

j

i

)

F

i

π

λj

n

:Ob

F

j

i

) (if

π

is defined at

λj

n

: Ob

F

j

).

Abbreviate

π

i

=

π

λj

n

:Ob

F

j

i

.

So

Q

(

L

)

F

=

d

i

dom

F

((

π

i

)

F

i

π

i

).

Q

(

L

)

F

= max

(

Φ

End

Q

(

Q

)

j

n

Ob

F

j

i

n

v

(

π

i

)

F

i

π

i

)

.

Taking into account that

π

i

is a monovalued entirely defined morphism, we get:

Obvious

1982

.

Q

(

L

)

F

= max

(

Φ

End

Q

(

Q

)

j

n

Ob

F

j

i

n

:

π

i

C(Φ

,F

i

)

)

.

Remark

1983

.

The above formula may allow to define the product for non-

dagger categories (but only for endomorphisms). In this writing I don’t introduce
a notation for this, however.

Corollary

1984

.

π

i

C

Q

(

L

)

F, F

i

for every

i

dom

F

.

1.3. Category of continuous morphisms.

Let

π

i

=

π

X

i

(for

i

dom

F

) be

entirely defined monovalued morphisms (we suppose it is defined at

X

).

Let

N

of an indexed family of morphisms is a morphism;

π

i

N

f

=

f

i

;

N

i

n

(

π

i

f

) =

f

.

Definition

1985

.

The category cont(

C

) is defined as follows:

Objects are endomorphisms of the category

C

.

Morphisms are triples (

f, a, b

) where

a

and

b

are objects and

f

: Ob

a

Ob

b

is an entirely defined monovalue principal morphism of the category

C

such that

f

C(

a, b

) (in other words,

f

a

v

b

f

).

Composition of morphisms is defined by the formula (

g, b, c

)

(

f, a, b

) =

(

g

f, a, c

).

Identity morphisms are (

a, a,

1

C

a

).

It is really a category:

Proof.

We need to prove that: composition of morphisms is a morphism,

composition is associative, and identity morphisms can be canceled on the left and
on the right.

That composition of morphisms is a morphism by properties of generalized

continuity.

That composition is associative is obvious.
That identity morphisms can be canceled on the left and on the right is obvious.

Remark

1986

.

The “physical” meaning of this category is:

Objects (endomorphisms of

C

) are spaces.

Morphisms are continuous functions between spaces.

f

a

v

b

f

intuitively means that

f

combined with an infinitely small is

less than infinitely small combined with

f

(that is

f

is continuous).

Definition

1987

.

π

cont(

C

)

i

=

Q

(

L

)

F, F

i

, π

i

.

Proposition

1988

.

π

i

are continuous, that is

π

cont

(

C

)

i

are morphisms.