background image

5.21. COMPLEMENTS AND CORE PARTS

99

Cor

a

down

a

and Cor

b

down

b

by the theorem

542

since our

filtrator is filtered. So we have

x

down

a, y

down

b

:

x

t

A

y

=

> ⇐

Cor

a

t

A

Cor

b

=

> ⇔

(by finite join-closedness of the core)

Cor

a

t

Z

Cor

b

=

> ⇔

Z

l

up

a

t

Z

Z

l

up

b

=

> ⇔

(by infinite distributivity)

Z

l

x

t

Z

y

x

up

a, y

up

b

=

> ⇐

x

up

a, y

up

b

:

x

t

Z

y

=

> ⇔

(by binary join-closedness of the core)

x

up

a, y

up

b

:

x

t

A

y

=

> ⇐

a

t

A

b

=

>

.

5.21. Complements and Core Parts

Lemma

591

.

If (

A

,

Z

) is a filtered, up-aligned filtrator with co-separable core

which is a complete lattice, then for any

a, c

A

c

A

a

c

A

Cor

a.

Proof.

. If

c

A

a

then by co-separability of the core exists

K

down

a

such that

c

A

K

. To finish the proof we will show that

K

v

Cor

a

. To show this

is enough to show that

X

up

a

:

K

v

X

what is obvious.

. Cor

a

v

a

(by theorem

542

using that our filtrator is filtered).

Theorem

592

.

If (

A

,

Z

) is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with

co-separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

= Cor

a

for every

a

A

.

Proof.

Our filtrator is with join-closed core (theorem

534

).

a

+

=

A

l

c

A

c

t

A

a

=

>

A

=

A

l

c

A

c

t

A

Cor

a

=

>

A

=

A

l

c

A

c

w

Cor

a

=

Cor

a

(used the lemma above and lemma

551

).

Corollary

593

.

If (

A

,

Z

) is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with

co-separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

Z

for every

a

A

.

Theorem

594

.

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.