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5.20. CO-SEPARABILITY OF CORE

98

. We will assume that cardinality of a set is an ordinal defined by von Neumann

cardinal assignment (what is a standard practice in ZFC). Recall that

α < β

α

β

for ordinals

α

,

β

.

We will take it as given that for every nonempty chain

T

P

S

we

have

d

T

S

.

We will prove the following statement: If card

S

=

n

then

S

is filter

closed, for any cardinal

n

.

Instead we will prove it not only for cardinals but for wider class of

ordinals: If card

S

=

n

then

S

is filter-closed, for any ordinal

n

.

We will prove it using transfinite induction by

n

.

For finite

n

we have

d

T

S

because

T

S

has minimal element.

Let card

T

=

n

be an infinite ordinal.

Let the assumption hold for every

m

card

T

.

We can assign

T

=

a

α

α

card

T

 

for some

a

α

because card card

T

=

card

T

.

Consider

β

card

T

.

Let

P

β

=

n

a

α

α

β

o

. Let

b

β

=

d

P

β

. Obviously

b

β

=

d

[

P

β

]

u

. We have

card[

P

β

]

u

= card

P

β

= card

β <

card

T

(used the lemma and von Neumann cardinal assignment). By the assump-

tion of induction

b

β

S

.

β

card

T

:

P

β

T

and thus

b

β

w

d

T

.

It is easy to see that the set

n

P

β

β

card

T

o

is a chain. Consequently

n

b

β

β

card

T

o

is a chain.

By the theorem conditions

b

=

d

β

card

T

b

β

S

(taken into account

that

b

β

S

by the assumption of induction).

Obviously

b

w

d

T

.

b

v

b

β

and so

β

card

T, α

β

:

b

v

a

α

. Let

α

card

T

. Then

(because card

T

is a limit ordinal, see [

44

]) there exists

β

card

T

such

that

α

β

card

T

. So

b

v

a

α

for every

α

card

T

. Thus

b

v

d

T

.

Finally

d

T

=

b

S

.

5.20. Co-Separability of Core

Theorem

587

.

The following is an implications tuple.

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet infinite distributive complete

lattice.

3

. (

A

,

Z

) is an up-aligned filtered filtrator whose core is a meet infinite dis-

tributive complete lattice.

4

. This filtrator is with co-separable core.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is obviously up-aligned, and filtered by theorem

531

.

3

4

Our filtrator is with join-closed core (theorem

531

).

Let

a, b

A

. Cor

a

and Cor

b

exist since

Z

is a complete lattice.