 5.19. SOME CRITERIA

97

4

c

4

a

.

S

P

Z

:

F u

A

A

l

S

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

A

K

6

=

!

S

P

Z

:

F 6

A

Z

l

S

⇒ ∃

K

S

:

F 6

A

K

!

(lemma

548

)

S

P

Z

:

Z

l

S

6w F ⇒ ∃

K

S

:

K

6w F

S

P

Z

:

K

S

:

K

w F ⇒

Z

l

S

w F

S

P

Z

:

K

S

:

K

w F ⇒

Z

l

h¬i

S

w F

!

S

P

Z

:

K

S

:

K

w F ⇒

Z

l

S

w F

!

Z

l

up

F w F ⇔

Z

l

up

F ∈

up

F ⇒

F ∈

Z

.

Remark

581

.

The above theorem strengthens theorem 53 in [

30

]. Both the

formulation of the theorem and the proof are considerably simplified.

Definition

582

.

Let

S

be a subset of a meet-semilattice. The

filter base

generated by

S

is the set

[

S

]

u

=

a

0

u · · · u

a

n

a

i

S, n

= 0

,

1

, . . .

.

Lemma

583

.

The set of all finite subsets of an infinite set

A

has the same

cardinality as

A

.

Proof.

Let denote the number of

n

-element subsets of

A

as

s

n

. Obviously

s

n

card

A

n

= card

A

. Then the number

S

of all finite subsets of

A

is equal to

s

0

+

s

1

+

· · · ≤

card

A

+ card

A

+

· · ·

= card

A.

That

S

card

A

is obvious. So

S

= card

A

.

Lemma

584

.

A filter base generated by an infinite set has the same cardinality

as that set.

Proof.

From the previous lemma.

Definition

585

.

Let

A

be a complete lattice. A set

S

P

A

is

filter-closed

when for every filter base

T

P

S

we have

d

T

S

.

Theorem

586

.

A subset

S

of a complete lattice is filter-closed iff for every

nonempty chain

T

P

S

we have

d

T

S

.

Proof.

(proof sketch by

Joel David Hamkins

)

. Because every nonempty chain is a filter base.