 5.19. SOME CRITERIA

96

3

.

A

is strongly separable.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By properties of stars of filters.

Remark

577

.

[

14

seems to show that the above theorem cannot be generalized

for a wider class of lattices.

Theorem

578

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

A

is an atomistic poset.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Because (used theorem

229

)

A

is atomic (theorem

573

and separable.

Corollary

579

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

A

is atomically separable.

Proof.

By theorem

227

.

5.19. Some Criteria

Theorem

580

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a down-aligned, with join-closed, binarily meet-closed and sepa-

rable core which is a complete boolean lattice.

4

. The following conditions are equivalent for any

F ∈

A

:

(a)

F ∈

Z

;

(b)

S

P

A

:

F u

A

d

A

S

6

=

⊥ ⇒ ∃K ∈

S

:

F u

A

K 6

=

;

(c)

S

P

Z

:

F u

A

d

A

S

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

A

K

6

=

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

The filtrator (

A

,

Z

) is with with join-closed core by theorem

531

binarily

meet-closed core by corollary

533

with separable core by theorem

534

.

3

4

.

4

a

4

b

Let

F ∈

Z

. Then (taking into account the lemma

548

)

F u

A

A

l

S

6

=

⊥ ⇔ F 6w

A

l

S

⇒ ∃K ∈

S

:

F 6w K ⇔ ∃K ∈

S

:

F u

A

K 6

=

.

4

b

4

c

Obvious.