 5.18. SEPARABILITY OF FILTERS

95

Obviously

S

0

is nonempty and binarily meet-closed. So

S

0

is a generalized filter

base. Obviously

A

/

S

. So by properties of generalized filter bases

d

A

S

0

6

=

A

.

But obviously

d

A

S

=

d

A

S

0

. So

d

A

S

6

=

A

.

Corollary

575

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with least element.

3

. Let

S

P

Z

such that

S

6

=

and

A

0

u

Z

· · · u

Z

A

n

6

=

Z

for every

A

0

, . . . , A

n

S

. Then

d

A

S

6

=

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Because (

A

,

Z

) is binarily meet-closed (by the theorem

535

).

Theorem

576

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a bounded meet-semilattice.

3

.

A

is an atomic lattice.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Let

F ∈

A

. Let choose (by Kuratowski’s lemma) a maximal chain

S

from

A

to

F

. Let

S

0

=

S

\ {⊥

A

}

.

a

=

d

A

S

0

6

=

A

by properties of

generalized filter bases (the corollary

573

which uses the fact that

Z

is a

meet-semilattice with least element). If

a /

S

then the chain

S

can be

extended adding there element

a

because

A

@

a

v X

for any

X ∈

S

0

what contradicts to maximality of the chain. So

a

S

and consequently

a

S

0

. Obviously

a

is the minimal element of

S

0

. Consequently (taking

into account maximality of the chain) there is no

Y ∈

A

such that

A

@

Y

@

a

. So

a

is an atomic filter. Obviously

a

v F

.

Definition

577

.

A complete lattice is

co-compact

iff

d

S

=

for a set

S

of elements of this lattice implies that there is its finite subset

T

S

such that

d

T

=

.

Theorem

578

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a bounded meet-semilattice.

3

.

A

is co-compact.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Poset

A

is complete by corollary

518

.

If

⊥ ∈

up

d

A

S

then there are

K

i

up

S

S

such that

⊥ ∈

up(

K

0

u

Z

. . .

u

Z

K

n

) that is

K

0

u

Z

. . .

u

Z

K

n

=

from which easily follows

F

0

u

A

. . .

u

A

F

n

=

for some

F

i

S

.

5.18. Separability of filters

Proposition

579

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.