 5.17. GENERALIZED FILTER BASE

94

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

d

A

S

=

S

h

i

S

for every

S

P

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

d

A

S

=

d

S

(

Z

)

h

i

S

=

S

h

i

S

.

5.17. Generalized Filter Base

Definition

570

.

Generalized filter base

is a filter base on the set

A

where

(

A

,

Z

) is a primary filtrator.

Definition

571

.

If

S

is a generalized filter base and

A

=

d

A

S

for some

A ∈

A

,

then we call

S

a generalized filter base of

A

.

Theorem

572

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. For a generalized filter base

S

of

F ∈

A

and

K

Z

we have

K

up

F ⇔ ∃L ∈

S

:

K

up

L

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

. Because

F

=

d

A

S

.

. Let

K

up

F

. Then (taken into account corollary

525

and that

S

is nonempty) there exist

X

1

, . . . , X

n

S

h

up

i

S

such that

K

up(

X

1

u

Z

· · · u

Z

X

n

) that is

K

up(

X

1

u

Z

· · · u

Z

X

n

). Conse-

quently (by theorem

535

)

K

up(

X

1

u

A

· · · u

A

X

n

). Replacing

every

X

i

with such

X

i

S

that

X

i

up

X

i

(this is obviously possi-

ble to do), we get a finite set

T

0

S

such that

K

up

d

A

T

0

. From

this there exists

C ∈

S

such that

C v

d

A

T

0

and so

K

up

C

.

Corollary

573

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with least element.

3

. For a generalized filter base

S

of a

F ∈

A

we have

A

S

⇔ F

=

A

.

Proof.

Substitute

A

as

K

.

Theorem

574

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with least element.

3

. Let

F

0

u

A

· · ·u

A

F

n

6

=

A

for every

F

0

, . . . ,

F

n

S

, where

S

is a nonempty

set of elements of

A

. Then

d

A

S

6

=

A

.

Proof.

Consider the set

S

0

=

F

0

u

A

· · · u

A

F

n

F

0

, . . . ,

F

n

S

.