background image

5.16. STARS FOR FILTERS

93

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. Let

a

A

. Then the following are equivalent:

(a)

a

is prime.

(b) For every

A

Z

exactly one of

{

A, A

}

is in up

a

.

(c)

a

is an atom of

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

3

a

3

b

Let

a

be prime. Then

A

t

Z

A

=

>

A

up

a

. Therefore

A

up

a

A

up

a

. But since

A

u

Z

A

=

Z

it is impossible

A

up

a

A

up

a

.

3

b

3

c

Obviously

a

6

=

A

.

Let a filter

b

@

a

. Take

X

up

b

such that

X /

up

a

. Then

X

up

a

because

a

is prime and thus

X

up

b

. So

Z

=

X

u

Z

X

up

b

and

thus

b

=

A

. So

a

is atomic.

3

c

3

a

By the previous proposition.

5.16. Stars for filters

Theorem

563

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice which is an ideal

base and has least element.

3

.

∂a

is a free star for each

a

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

A

is a distributive lattice by the corollary

528

The filtrator (

A

,

Z

) is

binarily join-closed by corollary

531

So we can apply the theorem

551

.

5.16.1. Stars of Filters on Boolean Lattices.

In this section we will con-

sider the set of filters

A

on a boolean lattice

Z

.

Theorem

564

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

A

=

¬h¬i

up

A

=

h¬i

¬

up

A

and up

A

=

¬h¬i

A

=

h¬i

¬

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Because of properties of diagram (

1

), it is enough to prove just

A

=

¬h¬i

up

A

. Really,

X

up

A ⇔

X

w A ⇔

X

A

A ⇔

X /

A

for any

X

Z

(taking into account theorems

532

,

534

and lemma

548

).

Corollary

565

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

is an order isomorphism from

A

to

S

(

Z

).

Proof.

By properties of the diagram (

1

).

Corollary

566

.

The following is an implications tuple: