background image

5.15. PRIME FILTRATOR ELEMENTS

92

Suppose now that

a

is a coatom of

A

. To finish the proof it is enough

to show that

a

is principal. (Then

a

is non-greatest and thus is a coatom

of

Z

.)

Suppose

a

is non-principal. Then obviously exist two distinct elements

x

and

y

of the core such that

x, y

up

a

. Thus

a

is not an atom of

A

.

Corollary

558

.

Coatoms of the set of filters on a set

U

are exactly sets

U

\{

x

}

where

x

U

.

Proposition

559

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a coatomic poset.

3

.

A

is coatomic.

Proof.

1

2

Obvious.

2

2

Suppose

A ∈

A

and

A 6

=

>

A

. Then there exists

A

up

A

such that

A

is not greatest element of

Z

. Consequently there exists a coatom

a

Z

such that

a

w

A

. Thus

a

up

A

and

a

is not greatest.

5.15. Prime Filtrator Elements

Definition

560

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator.

Prime

filtrator elements are such

a

A

that up

a

is a free star (in lattice

Z

).

Proposition

561

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice which is an ideal

base.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator with binarily join-closed core, where

A

is a starrish

join-semilattice and

Z

is a join-semilattice.

4

. Atomic elements of this filtrator are prime.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

(

A

,

Z

) is with binarily join-closed core by the theorem

531

,

A

is a distribu-

tive lattice by theorem

528

.

3

4

Let

a

be an atom of the lattice

A

. We have for every

X, Y

Z

X

t

Z

Y

up

a

X

t

A

Y

up

a

X

t

A

Y

w

a

X

t

A

Y

6

A

a

X

6

A

a

Y

6

A

a

X

w

a

Y

w

a

X

up

a

Y

up

a.

The following theorem is essentially borrowed from [

19

]:

Theorem

562

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.