background image

5.14. ATOMIC ELEMENTS OF A FILTRATOR

91

3

4

.

. Let

a

be an atom of

A

and

a

Z

. Then either

a

is an atom of

Z

or

a

is the least element of

Z

. But if

a

is the least element of

Z

then

a

is also least element of

A

and thus is not an atom of

A

. So the only

possible outcome is that

a

is an atom of

Z

.

. We need to prove that if

a

is an atom of

Z

then

a

is an atom of

A

.

Suppose the contrary that

a

is not an atom of

A

. Then there exists

x

A

such that

x

@

a

and

x

is not least element of

A

. Because “up”

is a straight monotone map to the dual of the poset

P

Z

(obvious

451

), up

a

up

x

. So there exists

K

up

x

such that

K /

up

a

.

Also

a

up

x

. We have

K

u

Z

a

=

K

u

A

a

up

x

;

K

u

Z

a

is not least

of

Z

(Suppose for the contrary that

K

u

Z

a

=

Z

, then

K

u

Z

a

=

A

/

up

x

.) and

K

u

Z

a

@

a

. So

a

is not an atom of

Z

.

Theorem

556

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

4

.

a

A

is an atom of

A

iff up

a

=

∂a

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By the theorem

531

.

3

4

.

. For any

K

A

K

up

a

K

w

a

K

6

A

a

K

∂a.

. Let up

a

=

∂a

. Then

a

is not least element of

A

. Consequently for

every

x

A

if

x

is not the least element of

A

we have

x

@

a

x

6

A

a

K

up

x

:

K

∂a

K

up

x

:

K

up

a

up

x

up

a

x

w

a.

So

a

is an atom of

A

.

Proposition

557

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. Coatoms of

A

are exactly coatoms of

Z

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Suppose

a

is a coatom of

Z

. Then

a

is the only non-greatest element in

up

a

. Suppose

b

A

a

for some

b

A

. Then

a

cannot be in up

b

and thus

the only possible element of up

b

is the greatest element of

Z

(if it exists)

from what follows

b

=

>

A

. So

a

is a coatom of

A

.