background image

5.14. ATOMIC ELEMENTS OF A FILTRATOR

90

Proof.

For every

A, B

Z

A

t

Z

B

∂a

A

t

A

B

∂a

(

A

t

A

B

)

u

A

a

6

=

A

(

A

u

A

a

)

t

A

(

B

u

A

a

)

6

=

A

A

u

A

a

6

=

A

B

u

A

a

6

=

A

A

∂a

B

∂a.

That

∂a

doesn’t contain

A

is obvious.

Definition

552

.

I call a filtrator

star-separable

when its core is a separation

subset of its base.

5.14. Atomic Elements of a Filtrator

See [

4

,

9

for more detailed treatment of ultrafilters and prime filters.

Proposition

553

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with greatest element.

3

.

A

is a complete lattice.

4

. atoms

d

S

=

T

h

atoms

i

S

for every

S

P

A

.

5

. atoms(

a

u

b

) = atoms

a

atoms

b

for

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Corollary

515

.

3

4

Theorem

108

.

4

5

Obvious.

Proposition

554

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice which is and ideal

base.

3

.

A

is a starrish join-semilattice.

4

. atoms(

a

t

b

) = atoms

a

atoms

b

for

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Corollary

528

.

3

4

Corollary

493

.

Theorem

555

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered weakly down-aligned filtrator with binarily meet-closed

core

Z

which is a meet-semilattice.

4

.

a

is an atom of

Z

iff

a

Z

and

a

is an atom of

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is filtered by the theorem

531

binarily meet-closed by corollary

533

.