background image

5.13. STARS OF ELEMENTS OF FILTRATORS

89

3

4

.

a

6

Z

b

a

6

A

b

is obvious. Let

a

Z

b

. Then

a

u

Z

b

exists; so

Z

exists

and

a

u

Z

b

=

Z

(as otherwise

a

u

Z

b

is non-least). So

Z

=

A

. We have

a

u

A

b

=

A

. Thus

a

A

b

.

Proposition

547

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a join-semilattice.

3

. (

A

,

Z

) is with binarily join-closed core, weakly up-aligned filtrator, and

Z

is a join-semilattice.

4

. (

A

,

Z

) is with correct joining.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Corollary

531

.

3

4

Dual of the previous proposition.

Lemma

548

.

For a filtrator (

A

,

Z

) where

Z

is a boolean lattice, for every

B

Z

,

A ∈

A

:

1

.

B

A

A ⇔

B

w A

if it is with separable core and with correct intersection;

2

.

B

A

A ⇔

B

v A

if it is with co-separable core and with correct joining.

Proof.

We will prove only the first as the second is dual.

B

A

A ⇔

A

up

A

:

B

A

A

A

up

A

:

B

Z

A

A

up

A

:

B

w

A

B

up

A ⇔

B

w A

.

5.13. Stars of Elements of Filtrators

Definition

549

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator.

Core star

of an element

a

of the

filtrator is

∂a

=

x

Z

x

6

A

a

.

Proposition

550

.

up

a

∂a

for any non-least element

a

of a filtrator.

Proof.

For any element

X

Z

X

up

a

a

v

X

a

v

a

X

6

A

a

X

∂a.

Theorem

551

.

Let (

A

,

Z

) be a distributive lattice filtrator with least element

and binarily join-closed core which is a join-semilattice. Then

∂a

is a free star for

each

a

A

.