background image

5.12. INTERSECTION AND JOINING WITH AN ELEMENT OF THE CORE

88

1

2

Obvious.

2

3

Theorem

531

.

3

4

Cor

a

=

d

Z

up

a

v

d

A

up

a

=

a

. Then obviously Cor

a

down

a

.

Theorem

540

.

The following is an implications tuple:

1

.

a

is a filter on a set.

2

.

a

is a filter on a complete lattice.

3

.

a

is an element

a

of a filtrator with join-closed core and Cor

0

a

exists.

4

. Cor

0

a

v

a

and Cor

0

a

down

a

and Cor

0

a

= max down

a

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is join closed by

531

Cor

0

a

exists because our filtrator is join-closed.

3

4

Cor

0

a

=

d

Z

down

a

=

d

A

down

a

v

a

. Now Cor

0

a

down

a

is obvious.

Thus Cor

0

a

= max down

a

.

Proposition

541

.

Cor

0

a

v

Cor

a

whenever both Cor

a

and Cor

0

a

exist for

any element

a

of a filtrator with join-closed core.

Proof.

Cor

a

=

d

Z

up

a

w

Cor

0

a

because

A

up

a

: Cor

0

a

v

A

.

Theorem

542

.

The following is an implications tuple:

1

.

a

is a filter on a set.

2

.

a

is a filter on a complete lattice.

3

.

a

is an element of a filtered filtrator and both Cor

a

and Cor

0

a

exist.

4

. Cor

0

a

= Cor

a

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By theorem

531

.

3

4

It is with join-closed core because it is filtered. So Cor

0

a

v

Cor

a

. Cor

a

down

a

. So Cor

a

v

d

Z

down

a

= Cor

0

a

.

Corollary

543

.

Cor

0

a

= Cor

a

=

T

a

for every filter

a

on a set.

5.12. Intersection and Joining with an Element of the Core

Definition

544

.

A filtrator (

A

;

Z

) is with

correct intersection

iff

a, b

Z

:

(

a

6

Z

b

a

6

A

b

).

Definition

545

.

A filtrator (

A

;

Z

) is with

correct joining

iff

a, b

Z

: (

a

Z

b

a

A

b

).

Proposition

546

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. (

A

,

Z

) is with binarily meet-closed core, weakly down-aligned filtrator,

and

Z

is a meet-semilattice.

4

. (

A

,

Z

) is with correct intersection.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Corollary

533

.