 5.10. CHARACTERIZATION OF BINARILY MEET-CLOSED FILTRATORS

86

3

.

A

is a co-frame.

The below theorem uses the notation and results from section

3.9

.

Theorem

530

.

If

A

is a co-frame and

L

is a bounded distributive lattice which,

then Join(

L,

A

) is also a co-frame.

Proof.

Let

F

=

↑ ◦

d

: Up(

A

)

Up(

A

);

F

is a co-nucleus by above.

Since Up(

A

)

=

Pos

(

A

,

2) by proposition

337

we may regard

F

as a co-nucleus

on

Pos

(

A

,

2).

Join(

L,

A

)

= Join(

L,

Fix(

F

)) by corollary

340

.

Join(

L,

Fix(

F

))

= Fix(Join(

L, F

)) by lemma

348

.

By corollary

347

the function Join(

L, F

) is a co-nucleus on Join(

L,

Pos

(

A

,

2)).

Join(

L,

Pos

(

A

,

2))

= (by lemma

350

)

Pos

(

A

,

Join(

L,

2))

=

Pos

(

A

,

F

(

X

))

.

F

(

X

) is a co-frame by corollary

529

Thus

Pos

(

A

,

F

(

X

)) is a co-frame by

lemma

350

.

Thus Join(

L,

A

) is isomorphic to a poset of fixed points of a co-nucleus on the

co-frame

Pos

(

A

,

F

(

X

)). By lemma

332

Join(

L,

A

) is also a co-frame.

5.9. Misc filtrator properties

Theorem

531

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

4

. (

A

,

Z

) is a filtrator with join-closed core.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

The formula

a, b

A

: (up

a

up

b

a

v

b

) is obvious for primary

filtrators.

3

4

Let (

A

,

Z

) be a filtered filtrator. Let

S

P

Z

and

d

Z

S

be defined. We

need to prove

d

A

S

=

d

Z

S

. That

d

Z

S

is an upper bound for

S

is

obvious. Let

a

A

be an upper bound for

S

. It’s enough to prove that

d

Z

S

v

a

. Really,

c

up

a

c

w

a

⇒ ∀

x

S

:

c

w

x

c

w

Z

l

S

c

up

Z

l

S

;

so up

a

up

d

Z

S

and thus

a

w

d

Z

S

because it is filtered.

5.10. Characterization of Binarily Meet-Closed Filtrators

Theorem

532

.

The following are equivalent for a filtrator (

A

,

Z

) whose core is

a meet semilattice such that

a

A

: up

a

6

=

:

1

. The filtrator is with binarily meet-closed core.

2

. up

a

is a filter for every

a

A

.

Proof.

1

2

Let

X, Y

up

a

. Then

X

u

Z

Y

=

X

u

A

Y

w

a

. That up

a

is an upper set

is obvious. So taking into account that up

a

6

=

, up

a

is a filter.