background image

5.8. MORE ADVANCED PROPERTIES OF FILTERS

85

Corollary

526

.

If (

A

,

Z

) is a primary filtrator and

Z

is a lattice, then

A

is a

lattice.

5.8.2. Distributivity of the Lattice of Filters.

Theorem

527

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice.

3

.

A t

A

d

A

S

=

d

A

At

A

S

for

S

P

A

and

A ∈

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Taking into account the previous section, we have:

up

 

A t

A

A

l

S

!

=

up

A ∩

up

A

l

S

=

up

A ∩

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

up

A

, K

i

S

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

up

A

, K

i

S

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

up

A ∩

S

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

h

up

A∩i

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

n

up

A∩

up

X

X ∈

S

o

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

n

up(

At

A

X

)

X ∈

S

o

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

up

A

l

A t

A

X

X ∈

S

=

up

A

l

At

A

S.

Corollary

528

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice which is an ideal

base.

3

.

A

is a distributive and co-brouwerian lattice.

Corollary

529

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice with greatest ele-

ment.