 5.8. MORE ADVANCED PROPERTIES OF FILTERS

84

Corollary

523

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice.

3

. up(

F

0

u

A

· · · u

A

F

m

) =

n

K

0

u

Z

···u

Z

K

m

K

i

up

F

i

where

i

=0

,...,m

o

for any

F

0

, . . . ,

F

m

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By the theorem.

More general case of semilattices follows:

Theorem

524

.

1

.

d

F

(

Z

)

S

=

S

(

K

0

u

Z

···u

Z

K

n

)

K

i

S

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

for

S

P

F

(

Z

)

\ {∅}

if

Z

is a

meet-semilattice;

2

.

d

I

(

Z

)

S

=

S

(

K

0

t

Z

···t

Z

K

n

)

K

i

S

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

for

S

P

I

(

Z

)

\ {∅}

if

Z

is a

join-semilattice.

Proof.

We will prove only the first as the second is dual.

It follows from the fact that

F

(

Z

)

l

S

=

F

(

Z

)

l

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

and that

K

0

u

Z

···u

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

is a filter base.

Corollary

525

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. up

d

S

=

S

up(

K

0

u

Z

···u

Z

K

n

)

K

i

S

h

up

i

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

for every

S

P

A

\ {∅}

.

Theorem

526

.

1

.

F

0

u

F

(

Z

)

· · · u

F

(

Z

)

F

m

=

S

n

(

K

0

u

Z

···u

Z

K

m

)

K

i

∈F

i

where

i

=0

,...,m

o

for

S

P

F

(

Z

)

\ {∅}

if

Z

is a meet-semilattice;

2

.

F

0

t

I

(

Z

)

· · · t

I

(

Z

)

F

m

=

S

n

(

K

0

t

Z

···t

Z

K

m

)

K

i

∈F

i

where

i

=0

,...,m

o

for

S

P

I

(

Z

)

\ {∅}

if

Z

is a join-semilattice.

Proof.

We will prove only the first as the second is dual.

It follows from the fact that

F

0

u

F

(

Z

)

· · · u

F

(

Z

)

F

m

=

F

(

Z

)

l

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

m

K

i

∈ F

i

where

i

= 0

, . . . , m

and that

n

K

0

u

Z

···u

Z

K

m

K

i

∈F

i

where

i

=0

,...,m

o

is a filter base.

Corollary

527

.

up(

F

0

u

F

(

Z

)

· · · u

F

(

Z

)

F

m

) =

S

n

up(

K

0

u

Z

···u

Z

K

m

)

K

i

∈F

i

where

i

=0

,...,m

o

if

Z

is

a meet-semilattice.

Lemma

528

.

If (

A

,

Z

) is a primary filtrator and

Z

is a meet-semilattice and an

ideal base, then

A

is a lattice.

Proof.

It is a join-semilattice by proposition

519

It is a meet-semilattice by

theorem

524

.