 5.8. MORE ADVANCED PROPERTIES OF FILTERS

82

1

From the previous theorem.

2

By duality.

3

Taking into account the lemma, it is enough to prove that

S

S

is a free

star.

S

S

is not the complement of empty set because

/

S

S

. For every

A, B

Z

we have:

A

[

S

B

[

S

⇔ ∃

P

S

: (

A

P

B

P

)

P

S

:

A

t

B

P

A

t

B

[

S.

4

By duality.

Corollary

514

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with greatest ele-

ment

>

.

3

.

d

A

S

exists and up

d

A

S

=

T

h

up

i

S

for every

S

P

A

\ {∅}

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By the theorem.

Corollary

515

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with greatest ele-

ment

>

.

3

.

A

is a complete lattice.

We will denote meets and joins on the lattice of filters just as

u

and

t

.

Proposition

516

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over an ideal base.

3

.

A

is a join-semilattice and for any

A

,

B ∈

A

up(

A t

A

B

) = up

A ∩

up

B

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Taking in account the lemma it is enough to prove that

R

= up

A∩

up

B

is a filter.

R

is nonempty because we can take

X

up

A

and

Y

up

B

and

Z

w

X

Z

w

Y

and then

R

3

Z

.

Let

A, B

R

. Then

A, B

up

A

; so exists

C

up

A

such that

C

v

A

C

v

B

.

Analogously exists

D

up

B

such that

D

v

A

D

v

B

. Take

E

w

C

E

w

D

.

Then

E

up

A

and

E

up

B

;

E

R

and

E

v

A

E

v

B

. So

R

is a filter base.

That

R

is an upper set is obvious.

Theorem

517

.

Let

Z

be a distributive lattice. Then

1

.

d

F

(

Z

)

S

=

K

0

u

Z

···u

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

for

S

P

F

(

Z

)

\ {∅}

;

2

.

d

I

(

Z

)

S

=

K

0

t

Z

···t

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

=0

,...,n

for

n

N

for

S

P

I

(

Z

)

\ {∅}

.