background image

5.8. MORE ADVANCED PROPERTIES OF FILTERS

81

Obvious

507

.

1

. Every up-aligned filtrator is weakly up-aligned.

2

. Every down-aligned filtrator is weakly down-aligned.

Obvious

508

.

1

. Every primary filtrator is weakly down-aligned.

2

. Every primary filtrator is weakly up-aligned.

5.8. More advanced properties of filters

5.8.1. Formulas for Meets and Joins of Filters.

Lemma

509

.

If

f

is an order embedding from a poset

A

to a complete lattice

B

and

S

P

A

and there exists such

F ∈

A

that

f

F

=

d

B

h

f

i

S

, then

d

A

S

exists

and

f

d

A

S

=

d

B

h

f

i

S

.

Proof.

f

is an order isomorphism from

A

to

B

|

h

f

i

A

.

f

F ∈

B

|

h

f

i

A

.

Consequently,

d

B

h

f

i

S

B

|

h

f

i

A

and

d

B

|

h

f

i∗

A

h

f

i

S

=

d

B

h

f

i

S

.

f

d

A

S

=

d

B

|

h

f

i∗

A

h

f

i

S

because

f

is an order isomorphism.

Combining,

f

d

A

S

=

d

B

h

f

i

S

.

Corollary

510

.

If

B

is a complete lattice and

A

is its subset and

S

P

A

and

d

B

S

A

, then

d

A

S

exists and

d

A

S

=

d

B

S

.

Exercise

511

.

The below theorem does not work for

S

=

. Formulate the

general case.

Theorem

512

.

1

. If

Z

is a meet-semilattice, then

d

F

(

Z

)

S

exists and

d

F

(

Z

)

S

=

T

S

for every

bounded above set

S

P

F

(

Z

)

\ {∅}

.

2

. If

Z

is a join-semilattice, then

d

I

(

Z

)

S

exists and

d

I

(

Z

)

S

=

T

S

for for

every bounded below set

S

P

I

(

Z

)

\ {∅}

.

Proof.

1

Taking into account the lemma, it is enough to prove that

T

S

is a filter.

Let’s prove that

T

S

is nonempty. There is an upper bound

T

of

S

. Take arbitrary

T

∈ T

. We have

T

∈ X

for every

X ∈

S

. Thus

S

is nonempty.

For every

A, B

Z

we have:

A, B

\

S

⇔ ∀

P

S

:

A, B

P

⇔ ∀

P

S

:

A

u

B

P

A

u

B

\

S.

So

T

S

is a filter.

2

By duality.

Theorem

513

.

1

. If

Z

is a meet-semilattice with greatest element, then

d

F

(

Z

)

S

exists and

d

F

(

Z

)

S

=

T

S

for every

S

P

F

(

Z

)

\ {∅}

.

2

. If

Z

is a join-semilattice with least element, then

d

I

(

Z

)

S

exists and

d

I

(

Z

)

S

=

T

S

for every

S

P

I

(

Z

)

\ {∅}

.

3

. If

Z

is a join-semilattice with least element, then

d

S

(

Z

)

S

exists and

d

S

(

Z

)

S

=

S

S

for every

S

P

S

(

Z

).

4

. If

Z

is a meet-semilattice with greatest element, then

d

M

(

Z

)

S

exists and

d

M

(

Z

)

S

=

S

S

for every

S

P

M

(

Z

).

Proof.