background image

5.7. BASIC PROPERTIES OF FILTERS

80

Proof.

Let

A

be a join infinite distributive lattice,

a

A

. Obviously

/

?a

(if

exists); obviously

?a

is an upper set. If

d

T

?a

, then (

d

T

)

u

a

is non-least

that is

d

h

a

ui

T

is non-least what is equivalent to

a

u

x

being non-least for some

x

T

that is

x

?a

.

Theorem

497

.

If

A

is a completely starrish complete lattice lattice then

atoms

l

T

=

[

h

atoms

i

T.

for every

T

P

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms

l

T

c

6

l

T

l

T

?c

⇔ ∃

X

T

:

X

?c

X

T

:

X

6

c

⇔ ∃

X

T

:

c

atoms

X

c

[

h

atoms

i

T.

5.7. Basic properties of filters

Proposition

498

.

up

A

=

A

for every filter

A

(provided that we equate ele-

ments of the base poset

Z

with corresponding principal filters.

Proof.

A

up

A ⇔

A

w A ⇔↑

A

w A ⇔↑

A

⊆ A ⇔

A

∈ A

.

5.7.1. Minimal and maximal filters.

Obvious

499

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

.

A

(equal to the principal filter for the least element of

Z

if it exists)

defined by the formula up

A

=

Z

is the least element of

A

.

Proposition

500

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator with greatest element.

3

.

>

A

defined by the formula up

>

A

=

{>

Z

}

is the greatest element of

A

.

Proof.

Take into account that filters are nonempty.

5.7.2. Alignment.

Definition

501

.

I call

down-aligned

filtrator such a filtrator (

A

,

Z

) that

A

and

Z

have common least element. (Let’s denote it

.)

Definition

502

.

I call

up-aligned

filtrator such a filtrator (

A

,

Z

) that

A

and

Z

have common greatest element. (Let’s denote it

>

.)

Obvious

503

.

1

. If

Z

has least element, the primary filtrator is down-aligned.

2

. If

Z

has greatest element, the primary filtrator is up-aligned.

Corollary

504

.

Every powerset filtrator is both up and down-aligned.

We can also define (without requirement of having least and greatest elements,

but coinciding with the above definitions if least/greatest elements are present):

Definition

505

.

I call

weakly down-aligned

filtrator such a filtrator (

A

,

Z

) that

whenever

Z

exists,

A

also exists and

Z

=

A

.

Definition

506

.

I call

weakly up-aligned

filtrator such a filtrator (

A

,

Z

) that

whenever

>

Z

exists,

>

A

also exists and

>

Z

=

>

A

.