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5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

79

. We need to prove only

d

T

S

T

S

6

=

. Let

d

T

S

. Because

S

is

an upper set, we have

X

T

:

Z

w

X

Z

w

d

T

Z

S

for every

Z

Z

; from which we conclude

T

S

6

=

.

. We need to prove only

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Really, if

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

) then

d

T

S

and

thus

d

T

S

T

S

6

=

.

Proposition

489

.

Let

Z

be a complete lattice.

S

P

Z

is a principal free star

iff the least element is not in

S

and for every

T

P

Z

l

T

S

T

S

6

=

.

Proof.

. We need to prove only

d

T

S

T

S

6

=

what follows from that

S

is an

upper set.

. We need to prove only that

S

is an upper set. To prove this we can use the

fact that

S

is a free star.

Exercise

490

.

Write down similar formulas for mixers.

5.6.9. Starrish posets.

Definition

491

.

I will call a poset

starrish

when the full star

?a

is a free star

for every element

a

of this poset.

Proposition

492

.

Every distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a distributive lattice,

a

A

. Obviously

/

?a

(if

exists);

obviously

?a

is an upper set. If

x

t

y

?a

, then (

x

t

y

)

u

a

is non-least that is

(

x

u

a

)

t

(

y

u

a

) is non-least what is equivalent to

x

u

a

or

y

u

a

being non-least

that is

x

?a

y

?a

.

Theorem

493

.

If

A

is a starrish join-semilattice lattice then

atoms(

a

t

b

) = atoms

a

atoms

b

for every

a, b

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms(

a

t

b

)

c

6

a

t

b

a

t

b

?c

a

?c

b

?c

c

6

a

c

6

b

c

atoms

a

c

atoms

b.

5.6.9.1.

Completely starrish posets.

Definition

494

.

I will call a poset

completely starrish

when the full star

?a

is

a principal free star for every element

a

of this poset.

Obvious

495

.

Every completely starrish poset is starrish.

Proposition

496

.

Every complete join infinite distributive lattice is com-

pletely starrish.