 5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

78

. Let

Z

F

and

P

F

:

Z

v

P

.

F

is nonempty because

Z

F

. It remains

to prove that

Z

v

P

P

F

. The reverse implication follows from

P

F

:

Z

v

P

. The direct implication follows from that

F

is an upper

set.

Lemma

485

.

If

S

P

Z

is not the complement of empty set and for every

T

P

Z

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

,

then

S

is a free star.

Proof.

Take

T

=

{

A, B

}

. Then

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

S

)

A

S

B

S

. So

S

is a free star.

Proposition

486

.

A set

S

P

Z

is a principal free star iff

S

is not the

complement of empty set and for every

T

P

Z

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Proof.

Let

S

=

h

dual

i

F

. We need to prove that

F

is a principal filter iff the

above formula holds. Really, we have the following chain of equivalencies:

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

;

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z /

∈ h

dual

i

F

)

T

∩ h

dual

i

F

6

=

;

Z

dual

Z

: (

X

T

:

Z

v

X

Z /

F

)

T

F

6

=

;

Z

dual

Z

: (

X

T

:

Z

v

X

Z /

F

)

T

*

F

;

T

F

⇔ ¬∀

Z

dual

Z

: (

Z

F

⇒ ¬∀

X

T

:

Z

v

X

);

T

F

⇔ ¬∀

Z

dual

Z

: (

Z /

F

∨ ¬∀

X

T

:

Z

v

X

);

T

F

⇔ ∃

Z

dual

Z

: (

Z

F

∧ ∀

X

T

:

Z

v

X

);

T

F

⇔ ∃

Z

F

X

T

:

Z

v

X

;

Z

F

X

F

:

Z

v

X

that is

F

is a principal filter (

S

is an upper set

because by the lemma it is a free star; thus

F

is also an upper set).

Proposition

487

.

S

P

Z

where

Z

is a poset is a principal free star iff all

the following:

1

. The least element (if it exists) is not in

S

.

2

.

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

for every

T

P

Z

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.

.

1

and

2

are obvious.

S

is an upper set because

S

is a free star.

. We need to prove that

Z

Z

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Let

X

0

T

S

. Then

X

T

:

Z

w

X

Z

w

X

0

Z

S

because

S

is

an upper set.

Proposition

488

.

Let

Z

be a complete lattice.

S

P

Z

is a principal free star

iff all the following:

1

. The least element is not in

S

.

2

.

d

T

S

T

S

6

=

for every

T

P

Z

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.