background image

5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

77

Figure 2.

F

(

A

)

I

(

B

)

M

(

A

)

S

(

B

)

¬

h

θ

i

h

θ

1

i

¬

h

θ

i

h

θ

1

i

5.6.6. Special diagrams.

Here are two important special cases of the above

diagram:

F

(

A

)

I

(dual

A

)

M

(

A

)

S

(dual

A

)

¬

h

dual

i

¬

h

dual

i

and

F

(

A

)

I

(

A

)

M

(

A

)

S

(

A

)

¬

h¬i

¬

h¬i

(1)

(the second diagram is defined for a boolean lattice

A

).

5.6.7. Order of ideals, free stars, mixers.

Define order of ideals, free

stars, mixers in such a way that the above diagrams isomorphically preserve order

of filters:

A

v

B

A

B

for filters and ideals;

A

v

B

A

B

for free stars and mixers.

5.6.8. Principal ideals, free stars, mixers.

Definition

479

.

Principal

ideal generated by an element

a

of poset

A

is

a

=

n

x

A

x

v

a

o

.

Definition

480

.

An ideal is

principal

iff it is generated by some poset element.

Definition

481

.

The

filtrator of ideals

on a given poset is the pair consisting

of the set of ideals and the set of principal ideals.

The above poset isomorphism maps principal filters into principal ideals and

thus is an isomorphism between the filtrator of filters on a poset and the filtrator

of ideals on the dual poset.

Exercise

482

.

Define principal free stars and mixers, filtrators of free stars and

mixers and isomorphisms of these with the filtrator of filters (these isomorphisms

exist because the posets of free stars and mixers are isomorphic to the poset of

filters).

Obvious

483

.

The following filtrators are primary:

filtrators of filters;

filtrators of ideals;

filtrators of free stars;

filtrators of mixers.

5.6.8.1.

Principal free stars.

Proposition

484

.

An upper set

F

P

Z

is a principal filter iff

Z

F

P

F

:

Z

v

P

.

Proof.

. Obvious.