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5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

76

Filters are nonempty sets

F

with

A

u

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a meet-semilattice.

Ideals are nonempty sets

F

with

A

t

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a join-semilattice.

Free stars are sets

F

not equal to

P

Z

with

A

t

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a join-semilattice.

Mixers are sets

F

not equal to

P

Z

with

A

u

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a meet-semilattice.

By duality and and an above theorem about filters, we have:

Proposition

476

.

Filters are nonempty upper sets

F

with

A

u

B

F

A

F

B

F

(for

every

A, B

Z

), whenever

Z

is a meet-semilattice.

Ideals are nonempty lower sets

F

with

A

t

B

F

A

F

B

F

(for

every

A, B

Z

), whenever

Z

is a join-semilattice.

Free stars are upper sets

F

not equal to

P

Z

with

A

t

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a join-semilattice.

Mixers are lower sets

F

not equal to

P

Z

with

A

u

B

F

A

F

B

F

(for every

A, B

Z

), whenever

Z

is a meet-semilattice.

5.6.5. The general diagram.

Let

A

and

B

be two posets connected by an

order reversing isomorphism

θ

:

A

B

. We have commutative diagram on the

figure

1

in the category

Set

:

Figure 1.

P

A

P

B

P

A

P

B

¬

h

θ

i

h

θ

1

i

¬

h

θ

i

h

θ

1

i

Theorem

477

.

This diagram is commutative, every arrow of this diagram is

an isomorphism, every cycle in this diagrams is an identity (therefore “parallel”

arrows are mutually inverse).

Proof.

That every arrow is an isomorphism is obvious.

Show that

h

θ

i

¬

X

=

¬h

θ

i

X

for every set

X

P

A

.

Really,

p

∈ h

θ

i

¬

X

⇔ ∃

q

∈ ¬

X

:

p

=

θq

⇔ ∃

q

∈ ¬

X

:

θ

1

p

=

q

θ

1

p

∈ ¬

X

@

q

X

:

q

=

θ

1

p

@

q

X

:

θq

=

p

p /

∈ h

θ

i

X

p

∈ ¬h

θ

i

X.

Thus the theorem follows from lemma

194

.

This diagram can be restricted to filters, ideals, free stars, and mixers, see

figure

2

:

Theorem

478

.

It is a restriction of the above diagram. Every arrow of this

diagram is an isomorphism, every cycle in these diagrams is an identity. (To prove

that, is an easy application of duality and the above lemma.)