background image

5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

75

Free stars are upper sets

F

not equal to

P

Z

with

A, B

F

⇒ ∃

Z

F

:

(

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).

Mixers are lower sets

F

not equal to

P

Z

with

A, B

F

⇒ ∃

Z

F

: (

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

Proposition

471

.

The following are equivalent:

1

.

F

is a free star.

2

.

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

F

)

A

F

B

F

for every

A, B

Z

and

F

6

=

P

Z

.

3

.

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

F

)

A

F

B

F

for every

A, B

Z

and

F

is an upper set and

F

6

=

P

Z

.

Proof.

1

2

The following is a chain of equivalencies:

Z

F

: (

Z

w

A

Z

w

B

)

A /

F

B /

F

;

Z

F

:

¬

(

Z

w

A

Z

w

B

)

A

F

B

F

;

Z

Z

: (

Z /

F

⇒ ¬

(

Z

w

A

Z

w

B

))

A

F

B

F

;

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

F

)

A

F

B

F.

2

3

Let

A

=

B

F

. Then

A

F

B

F

. So

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

F

) that is

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

F

) that is

F

is an upper set.

3

2

We need to prove that

F

is an upper set. let

A

F

and

A

v

B

Z

. Then

A

F

B

F

and thus

Z

Z

: (

Z

w

A

Z

w

B

Z

F

) that is

Z

Z

: (

Z

w

B

Z

F

) and so

B

F

.

Corollary

472

.

The following are equivalent:

1

.

F

is a mixer.

2

.

Z

Z

: (

Z

v

A

Z

v

B

Z

F

)

A

F

B

F

for every

A, B

Z

and

F

6

=

P

Z

.

3

.

Z

Z

: (

Z

v

A

Z

v

B

Z

F

)

A

F

B

F

for every

A, B

Z

and

F

is an lower set and

F

6

=

P

Z

.

Obvious

473

.

1

. A free star cannot contain the least element of the poset.

2

. A mixer cannot contain the greatest element of the poset.

5.6.4. Filters, ideals, free stars, and mixers on semilattices.

Proposition

474

.

Free stars are sets

F

not equal to

P

Z

with

A

F

B

F

⇔ ¬∃

Z

F

:

(

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).

Free stars are upper sets

F

not equal to

P

Z

with

A

F

B

F

¬∃

Z

F

: (

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).

Mixers are sets

F

not equal to

P

Z

with

A

F

B

F

⇔ ¬∃

Z

F

:

(

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

Mixers are lower sets

F

not equal to

P

Z

with

A

F

B

F

⇐ ¬∃

Z

F

: (

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

Proof.

By duality.

By duality and and an above theorem about filters, we have:

Proposition

475

.