background image

5.6. ALTERNATIVE PRIMARY FILTRATORS

74

5.6. Alternative primary filtrators

5.6.1. Lemmas.

Lemma

465

.

A set

F

is a lower set iff

F

is an upper set.

Proof.

X

F

Z

w

X

Z

F

is equivalent to

Z

F

X

F

Z

6w

X

is

equivalent

Z

F

(

Z

w

X

X

F

) is equivalent

Z

F

X

v

Z

X

F

.

Proposition

466

.

Let

Z

be a poset with least element

. Then for upper

set

F

we have

F

6

=

P

Z

⇔ ⊥

/

F

.

Proof.

. If

⊥ ∈

F

then

F

=

P

Z

because

F

is an upper set.

. Obvious.

5.6.2. Informal introduction.

We have already defined filters on a poset.

Now we will define three other sets which are order-isomorphic to the set of filters

on a poset: ideals (

I

), free stars (

S

), and mixers (

M

).

These four kinds of objects are related through commutative diagrams. First

we will paint an informal commutative diagram (it makes no formal sense because

it is not pointed the poset for which the filters are defined):

F

I

M

S

¬

h

dual

i

¬

h

dual

i

Then we can define ideals, free stars, and mixers as sets following certain for-

mulas. You can check that the intuition behind these formulas follows the above

commutative diagram. (That is transforming these formulas by the course of the

above diagram, you get formulas of the other objects in this list.)

After this, we will paint some formal commutative diagrams similar to the

above diagram but with particular posets at which filters, ideals, free stars, and

mixers are defined.

5.6.3. Definitions of ideals, free stars, and mixers.

Filters

and

ideals

are well known concepts. The terms

free stars

and

mixers

are my new terminology.

Recall that

filters

are nonempty sets

F

with

A, B

F

⇔ ∃

Z

F

: (

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

Definition

467

.

Ideals

are nonempty sets

F

with

A, B

F

⇔ ∃

Z

F

: (

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).

Definition

468

.

Free stars

are sets

F

not equal to

P

Z

with

A, B

F

Z

F

: (

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).

Definition

469

.

Mixers

are sets

F

not equal to

P

Z

with

A, B

F

⇔ ∃

Z

F

: (

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

By duality and and an above theorem about filters, we have:

Proposition

470

.

Filters are nonempty upper sets

F

with

A, B

F

⇒ ∃

Z

F

: (

Z

v

A

Z

v

B

) (for every

A, B

Z

).

Ideals are nonempty lower sets

F

with

A, B

F

⇒ ∃

Z

F

: (

Z

w

A

Z

w

B

) (for every

A, B

Z

).