background image

5.5. FILTRATORS

73

.

a

=

d

A

up

a

is equivalent to

a

is a greatest lower bound of up

a

. That is the

implication that

b

is lower bound of up

a

implies

a

w

b

.

b

is lower bound of up

a

implies up

b

up

a

. So as it is filtered

a

w

b

.

Obvious

453

.

Every filtered filtrator is prefiltered.

Obvious

454

.

“up” is a straight map from

A

to the dual of the poset

P

Z

if

(

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

Definition

455

.

An

isomorphism

between filtrators (

A

0

,

Z

0

) and (

A

1

,

Z

1

) is

an isomorphism between posets

A

0

and

A

1

such that it maps

Z

0

into

Z

1

.

Obvious

456

.

Isomorphism isomorphically maps the order on

Z

0

into order

on

Z

1

.

Definition

457

.

Two filtrators are

isomorphic

when there exists an isomor-

phism between them.

Definition

458

.

I will call

primary filtrator

a filtrator isomorphic to the fil-

trator consisting of the set of filters on a poset and the set of principal filters on

this poset.

Obvious

459

.

The order on a primary filtrator is defined by the formula

a

v

b

up

a

up

b

.

Definition

460

.

I will call a primary filtrator over a poset isomorphic to a

powerset as

powerset filtrator

.

Obvious

461

.

up

F

is a filter for every element

F

of a primary filtrator. Re-

versely, there exists a filter

F

if up

F

is a filter.

Theorem

462

.

For every poset

Z

there exists a poset

A

Z

such that (

A

,

Z

)

is a primary filtrator.

Proof.

See appendix

A

.

5.5.1. Filtrators with Separable Core.

Definition

463

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x

:

X

A

y

)

.

Proposition

464

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with separable core

iff

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x, Y

up

y

:

X

A

Y

)

.

Proof.

. Apply the definition twice.

. Obvious.

Definition

465

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with co-separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x

:

X

A

y

)

.

Obvious

466

.

Co-separability is the dual of separability.

Definition

467

.

Let (

A

,

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with co-separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x, Y

down

y

:

X

A

Y

)

.

Proof.

By duality.