background image

5.5. FILTRATORS

72

5.5. Filtrators

(

F

,

P

) is a poset and its subset (with induced order on the subset). I call pairs

of a poset and its subset like this

filtrators

.

Definition

435

.

I will call a

filtrator

a pair (

A

,

Z

) of a poset

A

and its subset

Z

A

. I call

A

the

base

of the filtrator and

Z

the

core

of the filtrator. I will also

say that (

A

,

Z

) is a filtrator

over

poset

Z

.

I will denote base(

A

,

Z

) =

A

, core(

A

,

Z

) =

Z

for a filtrator (

A

,

Z

).

While

filters

are customary and well known mathematical objects, the concept

of

filtrators

is probably first researched by me.

When speaking about filters, we will imply that we consider the filtrator (

F

,

P

)

or what is the same (as we equate principal filters with base elements) the filtrator

(

F

,

Z

).

Definition

436

.

I will call a

lattice filtrator

a pair (

A

,

Z

) of a lattice

A

and its

subset

Z

A

.

Definition

437

.

I will call a

complete lattice filtrator

a pair (

A

,

Z

) of a complete

lattice

A

and its subset

Z

A

.

Definition

438

.

I will call a

central filtrator

a filtrator (

A

, Z

(

A

)) where

Z

(

A

)

is the center of a bounded lattice

A

.

Definition

439

.

I will call

element

of a filtrator an element of its base.

Definition

440

.

up

Z

a

= up

a

=

n

c

Z

c

w

a

o

for an element

a

of a filtrator.

Definition

441

.

down

Z

a

= down

a

=

n

c

Z

c

v

a

o

for an element

a

of a filtrator.

Obvious

442

.

“up” and “down” are dual.

Our main purpose here is knowing properties of the core of a filtrator to in-

fer properties of the base of the filtrator, specifically properties of up

a

for every

element

a

.

Definition

443

.

I call a filtrator

with join-closed core

such a filtrator (

A

,

Z

)

that

d

Z

S

=

d

A

S

whenever

d

Z

S

exists for

S

P

Z

.

Definition

444

.

I call a filtrator

with meet-closed core

such a filtrator (

A

,

Z

)

that

d

Z

S

=

d

A

S

whenever

d

Z

S

exists for

S

P

Z

.

Definition

445

.

I call a filtrator with

binarily join-closed core

such a filtrator

(

A

,

Z

) that

a

t

Z

b

=

a

t

A

b

whenever

a

t

Z

b

exists for

a, b

Z

.

Definition

446

.

I call a filtrator with

binarily meet-closed core

such a filtrator

(

A

,

Z

) that

a

u

Z

b

=

a

u

A

b

whenever

a

u

Z

b

exists for

a, b

Z

.

Definition

447

.

Prefiltered filtrator

is a filtrator (

A

,

Z

) such that “up” is in-

jective.

Definition

448

.

Filtered filtrator

is a filtrator (

A

,

Z

) such that

a, b

A

: (up

a

up

b

a

v

b

)

.

Theorem

449

.

A filtrator (

A

,

Z

) is filtered iff

a

A

:

a

=

d

A

up

a

.

Proof.

. up

a

up

b

d

A

up

a

v

d

A

up

b

a

v

b

.