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5.4. FILTERS ON A SET

71

5.3.3. Order of filters. Principal filters.

I will make the set of filters

F

into a poset by the order defined by the formula:

a

v

b

a

b

.

Definition

426

.

The principal filter corresponding to an element

a

Z

is

a

=

x

Z

x

w

a

.

Elements of

P

=

h↑i

Z

are called

principal filters

.

Obvious

427

.

Principal filters are filters.

Obvious

428

.

is an order embedding from

Z

to

F

.

Corollary

429

.

is an order isomorphism between

Z

and

P

.

We will equate principal filters with corresponding elements of the base poset

(in the same way as we equate for example nonnegative whole numbers and natural

numbers).

Proposition

430

.

K

w A ⇔

K

∈ A

.

Proof.

K

w A ⇔↑

K

⊆ A ⇔

K

∈ A

.

5.4. Filters on a Set

Consider filters on the poset

Z

=

P

U

(where

U

is some fixed set) with the order

A

v

B

A

B

(for

A, B

P

A

).

In fact, it is a complete atomistic boolean lattice with

d

S

=

T

S

,

d

S

=

S

S

,

A

=

U

\

A

for every

S

PP

U

and

A

P

U

, atoms being one-element sets.

Definition

431

.

I will call a filter on the lattice of all subsets of a given set

U

as a

filter on set

.

Definition

432

.

I will denote the set on which a filter

F

is defined as Base(

F

).

Obvious

433

.

Base(

F

) =

S

F

.

Proposition

434

.

The following are equivalent for a non-empty set

F

PP

U

:

1

.

F

is a filter.

2

.

X, Y

F

:

X

Y

F

and

F

is an upper set.

3

.

X, Y

P

U

: (

X, Y

F

X

Y

F

).

Proof.

By theorem

423

.

Obvious

435

.

The minimal filter on

P

U

is

P

U

.

Obvious

436

.

The maximal filter on

P

U

is

{

U

}

.

I will denote

A

=

U

A

=

P

U

A

. (The distinction between conflicting nota-

tions

U

A

and

P

U

A

will be clear from the context.)

Proposition

437

.

Every filter on a finite set is principal.

Proof.

Let

F

be a filter on a finite set. Then obviously

F

=

d

Z

up

F

and

thus

F

is principal.