background image

5.3. FILTERS ON A POSET

70

I will denote the set of filters (for a given or implied poset

Z

) as

F

and call

F

the set of filters over the poset

Z

.

Proposition

420

.

If

>

is the maximal element of

Z

then

> ∈

F

for every

filter

F

.

Proof.

If

>

/

F

then

K

Z

:

K /

F

and so

F

is empty what is impossible.

Proposition

421

.

Let

S

be a filter base on a poset. If

A

0

, . . . , A

n

S

(

n

N

),

then

C

S

: (

C

v

A

0

. . .

C

v

A

n

)

.

Proof.

It can be easily proved by induction.

Definition

422

.

A function

f

from a poset

A

to a poset

B

preserves filtered

meets

iff whenever

d

S

is defined for a filter base

S

on

A

we have

f

d

S

=

d

h

f

i

S

.

5.3.2. Filters on meet-semilattices.

Theorem

423

.

If

Z

is a meet-semilattice and

F

is a nonempty subset of

Z

then

the following conditions are equivalent:

1

.

F

is a filter.

2

.

X, Y

F

:

X

u

Y

F

and

F

is an upper set.

3

.

X, Y

Z

: (

X, Y

F

X

u

Y

F

).

Proof.

1

2

Let

F

be a filter. Then

F

is an upper set. If

X, Y

F

then

Z

v

X

Z

v

Y

for some

Z

F

. Because

F

is an upper set and

Z

v

X

u

Y

then

X

u

Y

F

.

2

1

Let

X, Y

F

:

X

u

Y

F

and

F

be an upper set. We need to prove that

F

is a filter base. But it is obvious taking

Z

=

X

u

Y

(we have also taken

into account that

F

6

=

).

2

3

Let

X, Y

F

:

X

u

Y

F

and

F

be an upper set. Then

X, Y

Z

: (

X, Y

F

X

u

Y

F

)

.

Let

X

u

Y

F

; then

X, Y

F

because

F

is an upper set.

3

2

Let

X, Y

Z

: (

X, Y

F

X

u

Y

F

)

.

Then

X, Y

F

:

X

u

Y

F

. Let

X

F

and

X

v

Y

Z

. Then

X

u

Y

=

X

F

. Consequently

X, Y

F

. So

F

is an upper set.

Proposition

424

.

Let

S

be a filter base on a meet-semilattice. If

A

0

, . . . , A

n

S

(

n

N

), then

C

S

:

C

v

A

0

u · · · u

A

n

.

Proof.

It can be easily proved by induction.

Proposition

425

.

If

Z

is a meet-semilattice and

S

is a filter base on it,

A

Z

,

then

h

A

ui

S

is also a filter base.

Proof.

h

A

ui

S

6

=

because

S

6

=

.

Let

X, Y

∈ h

A

ui

S

. Then

X

=

A

u

X

0

and

Y

=

A

u

Y

0

where

X

0

, Y

0

S

. There

exists

Z

0

S

such that

Z

0

v

X

0

u

Y

0

. So

X

u

Y

=

A

u

X

0

u

Y

0

w

A

u

Z

0

∈ h

A

ui

S

.