background image

5.3. FILTERS ON A POSET

69

consists of all intervals ]

;

[ for all

 >

0 and also all subsets of

R

containing

such intervals as subsets. Informally speaking, this is the greatest filter contained

in every interval ]

;

[ for all

 >

0.

Definition

405

.

A filter on a set

f

is a

F ∈

PP

f

such that:

1

.

A, B

∈ F

:

A

B

∈ F

;

2

.

A, B

P

f

: (

A

∈ F ∧

B

A

B

∈ F

).

Exercise

406

.

Verify that the above introduced infinitely small interval near

0 on the real line is a filter on

R

.

Exercise

407

.

Describe “the neighborhood of positive infinity” filter on

R

.

Definition

408

.

A filter not containing empty set is called a

proper filter

.

Obvious

409

.

The non-proper filter is

P

f

.

Remark

410

.

Some other authors require that all filters are proper. This is a

stupid idea and we allow non-proper filters, in the same way as we allow to use the

number 0.

5.2.2. Intro to filters on a meet-semilattice.

A trivial generalization of

the above:

Definition

411

.

A filter on a meet-semilattice

Z

is a

F ∈

P

Z

such that:

1

.

A, B

∈ F

:

A

u

B

∈ F

;

2

.

A, B

Z

: (

A

∈ F ∧

B

w

A

B

∈ F

).

5.2.3. Intro to filters on a poset.

Definition

412

.

A filter on a poset

Z

is a

F ∈

P

Z

such that:

1

.

A, B

∈ F ∃

C

∈ F

:

C

v

A, B

;

2

.

A, B

Z

: (

A

∈ F ∧

B

w

A

B

∈ F

).

It is easy to show (and there is a proof of it somewhere below) that this coincides

with the above definition in the case if

Z

is a meet-semilattice.

5.3. Filters on a poset

5.3.1. Filters on posets.

Let

Z

be a poset.

Definition

413

.

Filter base

is a nonempty subset

F

of

Z

such that

X, Y

F

Z

F

: (

Z

v

X

Z

v

Y

)

.

Definition

414

.

Ideal base

is a nonempty subset

F

of

Z

such that

X, Y

F

Z

F

: (

Z

w

X

Z

w

Y

)

.

Obvious

415

.

Ideal base is the dual of filter base.

Obvious

416

.

1

. A poset with a lowest element is a filter base.

2

. A poset with a greatest element is an ideal base.

Obvious

417

.

1

. A meet-semilattice is a filter base.

2

. A join-semilattice is an ideal base.

Obvious

418

.

A nonempty chain is a filter base and an ideal base.

Definition

419

.

Filter

is a subset of

Z

which is both a filter base and an upper

set.