background image

3.9. SOME PROPERTIES OF FRAMES

57

Lemma

335

.

The set Up(

A

) is closed under arbitrary meets and joins.

Proof.

Let

S

P

Up(

A

).

Let

X

S

S

and

Y

w

X

for an

Y

A

. Then there is

P

S

such that

X

P

and thus

Y

P

and so

Y

S

S

. So

S

S

Up(

A

).

Let now

X

T

S

and

Y

w

X

for an

Y

A

. Then

T

S

:

X

T

and so

T

S

:

Y

T

, thus

Y

T

S

. So

T

S

Up(

A

).

Theorem

336

.

A poset

A

is a complete lattice iff there is a antitone map

s

: Up(

A

)

A

such that

1

.

s

(

p

) =

p

for every

p

A

;

2

.

D

⊆↑

s

(

D

) for every

D

Up(

A

).

Moreover, in this case

s

(

D

) =

d

D

for every

D

Up(

A

).

Proof.

. Take

s

(

D

) =

d

D

.

.

x

D

:

x

w

s

(

D

) from the second formula.

Let

x

D

:

y

v

x

. Then

x

∈↑

y

,

D

⊆↑

y

; because

s

is an antitone

map, thus follows

s

(

D

)

w

s

(

y

) =

y

. So

x

D

:

y

v

s

(

D

).

That

s

is the meet follows from the definition of meets.

It remains to prove that

A

is a complete lattice.

Take any subset

S

of

A

. Let

D

be the smallest upper set containing

S

.

(It exists because Up(

A

) is closed under arbitrary joins.) This is

D

=

x

A

s

S

:

x

w

s

.

Any lower bound of

D

is clearly a lower bound of

S

since

D

S

. Con-

versely any lower bound of

S

is a lower bound of

D

. Thus

S

and

D

have

the same set of lower bounds, hence have the same greatest lower bound.

Proposition

337

.

For any poset

A

the following are mutually reverse order

isomorphisms between upper sets

F

(ordered reverse to set-theoretic inclusion) on

A

and order homomorphisms

ϕ

:

A

op

2 (here 2 is the partially ordered set of two

elements: 0 and 1 where 0

v

1), defined by the formulas

1

.

ϕ

(

a

) =

1 if

a

F

0 if

a /

F

for every

a

A

;

2

.

F

=

ϕ

1

(1).

Proof.

Let

X

ϕ

1

(1) and

Y

w

X

. Then

ϕ

(

X

) = 1 and thus

ϕ

(

Y

) = 1.

Thus

ϕ

1

(1) is a upper set.

It is easy to show that

ϕ

defined by the formula

1

is an order homomorphism

A

op

2 whenever

F

is a upper set.

Finally we need to prove that they are mutually inverse. Really: Let

ϕ

be de-

fined by the formula

1

Then take

F

0

=

ϕ

1

(1) and define

ϕ

0

(

a

) by the formula

1

.

We have

ϕ

0

(

a

) =

1 if

a

ϕ

1

(1)

0 if

a /

ϕ

1

(1) =

1 if

ϕ

(

a

) = 1

0 if

ϕ

(

a

)

6

= 1 =

ϕ

(

a

)

.

Let now

F

be defined by the formula

2

Then take

ϕ

0

(

a

) =

1 if

a

F

0 if

a /

F

as

defined by the formula

1

and define

F

0

=

ϕ

0−

1

(1). Then

F

0

=

ϕ

0−

1

(1) =

F.