background image

3.7. INFINITE ASSOCIATIVITY AND ORDINATED PRODUCT

48

family indexed by an ordinal

n

. Then

f

(

x

) can be taken. The same function

f

can

take different number of arguments. (See below for the exact definition.)

Some of such functions

f

are associative in the sense defined below. If a function

is associative in the below defined sense, then the binary operation induced by this

function is associative in the usual meaning of the word “associativity” as defined

in basic algebra.

I also introduce and research an important example of infinitely associative

function, which I call

ordinated product

.

Note that my searching about infinite associativity and ordinals in Internet has

provided no useful results. As such there is a reason to assume that my research of

generalized associativity in terms of ordinals is novel.

3.7.2. Used notation.

We identify natural numbers with finite Von Neu-

mann’s ordinals (further just

ordinals

or

ordinal numbers

).

For simplicity we will deal with small sets (members of a Grothendieck uni-

verse). We will denote the Grothendieck universe (aka

universal set

) as

f

.

I will denote a tuple of

n

elements like

J

a

0

, . . . , a

n

1

K

. By definition

J

a

0

, . . . , a

n

1

K

=

{

(0

, a

0

)

, . . . ,

(

n

1

, a

n

1

)

}

.

Note that an ordered pair (

a, b

) is not the same as the tuple

J

a, b

K

of two

elements. (However, we will use them interchangeably.)

Definition

284

.

An

anchored relation

is a tuple

J

n, r

K

where

n

is an index set

and

r

is an

n

-ary relation.

For an anchored relation arity

J

n, r

K

=

n

. The graph

1

of

J

n, r

K

is defined as

follows: GR

J

n, r

K

=

r

.

Definition

285

.

Pr

i

f

is a function defined by the formula

Pr

i

f

=

x

i

x

f

for every small

n

-ary relation

f

where

n

is an ordinal number and

i

n

. Particularly

for every

n

-ary relation

f

and

i

n

where

n

N

Pr

i

f

=

x

i

J

x

0

, . . . , x

n

1

K

f

.

Recall that Cartesian product is defined as follows:

Y

a

=

(

z

(

S

im

a

)

dom

a

i

dom

a

:

z

(

i

)

a

i

)

.

Obvious

286

.

If

a

is a small function, then

Q

a

=

n

z

f

dom

a

i

dom

a

:

z

(

i

)

a

i

o

.

3.7.2.1.

Currying and uncurrying.

The customary definition.

Let

X

,

Y

,

Z

be sets.

We will consider variables

x

X

and

y

Y

.

Let a function

f

Z

X

×

Y

. Then curry(

f

)

(

Z

Y

)

X

is the function defined by

the formula (curry(

f

)

x

)

y

=

f

(

x, y

).

Let now

f

(

Z

Y

)

X

. Then uncurry(

f

)

Z

X

×

Y

is the function defined by the

formula uncurry(

f

)(

x, y

) = (

f x

)

y

.

Obvious

287

.

1

. uncurry(curry(

f

)) =

f

for every

f

Z

X

×

Y

.

2

. curry(uncurry(

f

)) =

f

for every

f

(

Z

Y

)

X

.

1

It is unrelated with graph theory.