background image

3.5. PARTITIONING

46

Definition

273

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly co-

metacomplete

when (

g

t

h

)

f

= (

g

f

)

t

(

h

f

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable source and destination.

Obvious

274

.

1

. Metamonovalued morphisms are weakly metamonovalued.

2

. Metainjective morphisms are weakly metainjective.

3

. Metacomplete morphisms are weakly metacomplete.

4

. Co-metacomplete morphisms are weakly co-metacomplete.

3.5. Partitioning

Definition

275

.

Let

A

be a complete lattice.

Torning

of an element

a

A

is

a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

l

S

=

a

and

x, y

S

: (

x

6

=

y

x

y

)

.

Definition

276

.

Let

A

be a complete lattice.

Weak partition

of an element

a

A

is a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

l

S

=

a

and

x

S

:

x

l

(

S

\ {

x

}

)

.

Definition

277

.

Let

A

be a complete lattice.

Strong partition

of an element

a

A

is a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

l

S

=

a

and

A, B

P

S

: (

A

B

l

A

l

B

)

.

Obvious

278

.

1

. Every strong partition is a weak partition.

2

. Every weak partition is a torning.

Definition

279

.

Complete lattice generated by

a set

P

(on a complete lattice)

is the set (obviously having the structure of complete lattice)

P

0

P

1

. . .

where

P

0

=

P

and

P

i

+1

=

n

d

K,

d

K

K

P

P

i

o

.

Obvious

280

.

Complete lattice generated by a set is indeed a complete lattice.

Example

281

.

[

S

]

6

=

n

d

A

X

X

P

S

o

, where [

S

] is the complete lattice generated by

a strong partition

S

of a filter on a set.

Proof.

Consider any infinite set

U

and its strong partition

S

=

n

U

{

x

}

x

U

o

.

The set

S

consists only of principal filters. But [

S

] contains (exercise!) some

nonprincipal filters.

By the way:

Proposition

282

.

n

d

A

X

X

P

S

o

is closed under binary meets, if

S

is a strong

partition of an element of a complete lattice.