background image

3.4. PARTIALLY ORDERED CATEGORIES

45

Entirely defined. Let

f

and

g

be entirely defined morphisms, Dst

f

= Src

g

. Then

(

g

f

)

(

g

f

) =

f

g

g

f

w

f

1

Src

g

f

=

f

1

Dst

f

f

=

f

f

w

1

Src

f

= 1

Src(

g

f

)

.

So

g

f

is entirely defined.

That identity morphisms are entirely defined follows from the follow-

ing:

(1

A

)

1

A

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Src 1

A

w

1

Src 1

A

.

Definition

263

.

I will call a

bijective

morphism a morphism which is entirely

defined, monovalued, injective, and surjective.

Proposition

264

.

If a morphism is bijective then it is an isomorphism.

Proof.

Let

f

be bijective. Then

f

f

v

1

Dst

f

,

f

f

w

1

Src

f

,

f

f

v

1

Src

f

,

f

f

w

1

Dst

f

. Thus

f

f

= 1

Dst

f

and

f

f

= 1

Src

f

that is

f

is an inverse of

f

.

Let Hom-sets be complete lattices.

Definition

265

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metamono-

valued

when (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms with a

suitable source and destination.

Definition

266

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metainjective

when

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a suitable

source and destination.

Obvious

267

.

Metamonovaluedness and metainjectivity are dual to each other.

Definition

268

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metacomplete

when

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a suitable

source and destination.

Definition

269

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

co-

metacomplete

when (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms

with a suitable source and destination.

Let now Hom-sets be meet-semilattices.

Definition

270

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly meta-

monovalued

when (

g

u

h

)

f

= (

g

f

)

u

(

h

f

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable source and destination.

Definition

271

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly

metainjective

when

f

(

g

u

h

) = (

f

g

)

u

(

f

h

) whenever

g

and

h

are morphisms

with a suitable source and destination.

Let now Hom-sets be join-semilattices.

Definition

272

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

weakly meta-

complete

when

f

(

g

t

h

) = (

f

g

)

t

(

f

h

) whenever

g

and

h

are morphisms with

a suitable source and destination.