background image

3.4. PARTIALLY ORDERED CATEGORIES

44

Theorem

252

.

The following conditions are equivalent for a morphism

f

of a

dagger precategory:

1

.

f

is symmetric and transitive.

2

.

f

=

f

f

.

Proof.

1

2

If

f

is symmetric and transitive then

f

f

=

f

f

=

f

.

2

1

.

f

= (

f

f

)

=

f

f

††

=

f

f

=

f

, so

f

is symmetric.

f

=

f

f

=

f

f

,

so

f

is transitive.

3.4.2.1.

Some special classes of morphisms.

Definition

253

.

For a partially ordered dagger category I will call

monovalued

morphism such a morphism

f

that

f

f

v

1

Dst

f

.

Definition

254

.

For a partially ordered dagger category I will call

entirely

defined

morphism such a morphism

f

that

f

f

w

1

Src

f

.

Definition

255

.

For a partially ordered dagger category I will call

injective

morphism such a morphism

f

that

f

f

v

1

Src

f

.

Definition

256

.

For a partially ordered dagger category I will call

surjective

morphism such a morphism f that

f

f

w

1

Dst

f

.

Remark

257

.

It is easy to show that this is a generalization of monovalued,

entirely defined, injective, and surjective functions as morphisms of the category

Rel

.

Obvious

258

.

“Injective morphism” is a dual of “monovalued morphism” and

“surjective morphism” is a dual of “entirely defined morphism”.

Definition

259

.

For a given partially ordered dagger category

C

the

cate-

gory of monovalued

(

entirely defined

,

injective

,

surjective

) morphisms of

C

is the

category with the same set of objects as of

C

and the set of morphisms being the

set of monovalued (entirely defined, injective, surjective) morphisms of

C

with the

composition of morphisms the same as in

C

.

We need to prove that these are really categories, that is that composition

of monovalued (entirely defined, injective, surjective) morphisms is monovalued

(entirely defined, injective, surjective) and that identity morphisms are monovalued,

entirely defined, injective, and surjective.

Proof.

We will prove only for monovalued morphisms and entirely defined

morphisms, as injective and surjective morphisms are their duals.
Monovalued. Let

f

and

g

be monovalued morphisms, Dst

f

= Src

g

. Then

(

g

f

)

(

g

f

)

=

g

f

f

g

v

g

1

Src

g

g

=

g

g

v

1

Dst

g

= 1

Dst(

g

f

)

.

So

g

f

is monovalued.

That identity morphisms are monovalued follows from the following:

1

A

(1

A

)

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Dst 1

A

v

1

Dst 1

A

.